De stelling van Pythagoras is een van de beroemdste resultaten in de hele wiskunde: eenvoudig genoeg om in één regel uit te drukken, diep genoeg om meer dan 370 bekende bewijzen te bevatten. Hier vindt u alles wat u moet weten, van de formule tot praktische toepassingen.
De formule
Voor elke rechthoekige driehoek (een driehoek met één hoek van 90°):
a^2 + b^2 = c^2
Waar a en b de twee benen zijn (de zijden die de rechte hoek vormen) en c de hypotenusa is (de zijde tegenover de rechte hoek – altijd de langste zijde).
Elke kant vinden
De hypotenusa vinden (c):
c = √(a^2 + b^2)
Een been vinden (a):
a = √(c^2 - b^2)
Het andere been vinden (b):
b = √(c^2 - a^2)
Uitgewerkte voorbeelden
Voorbeeld 1: Een rechthoekige driehoek heeft poten van 3 cm en 4 cm. Zoek de hypotenusa.
- c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 cm
Voorbeeld 2: Een ladder van 10 meter lang leunt tegen een muur, met de basis 4 meter van de muur. Hoe hoog reikt het?
- a = √(10² - 4²) = √(100 - 16) = √84 ≈ 9,17 meter
Pythagoras-triples
Een Pythagoras-drietal is een set van drie gehele getallen die voldoen aan a² + b² = c². Deze komen vaak voor bij problemen en zijn de moeite waard om te onthouden:
| A | B | C |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 20 | 21 | 29 |
Elk veelvoud van een triple is ook een triple: (6, 8, 10), (9, 12, 15), (15, 20, 25) werken allemaal.
Een eenvoudig bewijs
Het meest elegante bewijs maakt gebruik van gebieden. Teken een groot vierkant met zijde (a + b). Plaats daarin vier exemplaren van de rechthoekige driehoek met poten a en b.
De vier driehoeken beslaan oppervlakte 4 × (½ab) = 2ab. De resterende ruimte in het grote vierkant moet c² zijn (het vierkant op de hypotenusa).
Het grote vierkant heeft oppervlakte (a + b)² = a² + 2ab + b².
Dus: a² + 2ab + b² − 2ab = c²
Daarom: a² + b² = c²
Toepassingen in de echte wereld
Bouw en timmerwerk
De ‘3-4-5 regel’ wordt dagelijks op bouwplaatsen gebruikt om te controleren of de hoeken perfect haaks zijn. Meet 3 eenheden langs één muur, 4 eenheden langs de aangrenzende muur en controleer vervolgens of de diagonaal precies 5 eenheden meet. Als dat zo is, is de hoek precies 90°.
Navigatie
Vóór GPS gebruikten navigators de stelling voortdurend. Als u 30 km naar het oosten en vervolgens 40 km naar het noorden reist, is uw afstand in rechte lijn vanaf het begin √(30² + 40²) = √2500 = 50 km.
Moderne GPS-systemen gebruiken een 3D-uitbreiding van de stelling om afstanden tussen coördinaten te berekenen.
Schermformaten
Een ‘65 inch tv’ heeft een diagonale schermmaat van 65 inch. Als je de beeldverhouding (16:9) kent, kun je met behulp van de stelling de exacte breedte en hoogte vinden. Voor een 65" 16:9-scherm: breedte ≈ 56,7", hoogte ≈ 31,9".
Techniek en natuurkunde
De stelling is van fundamenteel belang in de bouwtechniek (het berekenen van dragende diagonalen), computergraphics (het weergeven van 3D-scènes) en de natuurkunde (het berekenen van resulterende vectoren - het gecombineerde effect van twee krachten in een rechte hoek).
De 3D-extensie: afstandsformule
De stelling van Pythagoras strekt zich uiteraard uit tot drie dimensies:
d = √((x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2)
Dit wordt gebruikt in computergraphics, natuurkundige simulaties, GPS-berekeningen en elk systeem dat met 3D-coördinaten werkt.
Bereken nu de stelling van Pythagoras
Gebruik onze gratis rekenmachine om elke zijde van een rechthoekige driehoek te vinden, gegeven de andere twee. Voer twee willekeurige kanten in en krijg meteen de derde, samen met een stapsgewijze werking.