Een priemgetal is een geheel getal groter dan 1 dat precies twee factoren heeft: 1 en zichzelf. Priemgetallen zijn de bouwstenen van alle gehele getallen; elk geheel getal kan worden uitgedrukt als een product van priemgetallen.

De eerste 25 priemgetallen

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Merk op dat 2 het enige even priemgetal is. Alle andere even getallen zijn deelbaar door 2.

Methode 1: Proefverdeling

De eenvoudigste manier om te testen of een getal een priemgetal is: controleer of een getal tot aan de vierkantswortel het gelijkmatig verdeelt.

Belangrijkste inzicht: Als n een factor groter dan √n heeft, heeft deze ook een overeenkomstige factor kleiner dan √n. U hoeft dus slechts tot √n te controleren.

Algoritme:

  1. Als n < 2, geen priemgetal
  2. Als n = 2, prime
  3. Als n even is (behalve 2), geen priemgetal
  4. Controleer alle oneven getallen van 3 tot √n
  5. Als er iets is, verdeel n dan gelijkmatig, niet als priemgetal
  6. Anders primen

Voorbeeld: is 97 een priemgetal?

√97 ≈ 9,85, dus controleer primes tot 9: 2, 3, 5, 7

  • 97 ÷ 2 = 48,5 (niet geheel)
  • 97 ÷ 3 = 32,33... (niet geheel)
  • 97 ÷ 5 = 19,4 (niet geheel)
  • 97 ÷ 7 = 13,86 (niet geheel)

Geen delers gevonden — 97 is een priemgetal.

Voorbeeld: is 91 een priemgetal?

√91 ≈ 9,54, controle tot 9: 2, 3, 5, 7

  • 91 ÷ 7 = 13 (geheel getal!)

91 is geen priemgetal — 91 = 7 × 13.

Methode 2: Zeef van Eratosthenes

De Zeef van Eratosthenes vindt alle priemgetallen tot een bepaalde limiet. Het is snel en elegant, uitgevonden door de Griekse wiskundige Eratosthenes rond 240 voor Christus.

Om alle priemgetallen tot 50 te vinden:

  1. Schrijf de cijfers 2 tot en met 50 op
  2. Begin met 2 (eerste priemgetal). Schrap alle veelvouden van 2 (4, 6, 8...)
  3. Ga naar het volgende niet-gekruiste getal: 3. Streep veelvouden van 3 door (9, 15, 21...)
  4. Volgende niet-gekruiste: 5. Streep veelvouden van 5 door (25, 35...)
  5. Volgende niet-gekruiste: 7. Schrap veelvouden van 7 (49...)
  6. Stop wanneer u √50 ≈ 7,07 bereikt
  7. Alle overige niet-gekruiste getallen zijn priemgetallen

Priemgetallen tot 50: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

Primes tot 100: volledige lijst

Bereik Priemgetallen
1–10 2, 3, 5, 7
11–20 11, 13, 17, 19
21–30 23, 29
31–40 31, 37
41–50 41, 43, 47
51–60 53, 59
61–70 61, 67
71–80 71, 73, 79
81–90 83, 89
91–100 97

Er zijn 25 priemgetallen onder de 100.

Snelle deelbaarheidstests

Controleer deze regels voordat u een volledige deling uitvoert:

Deelbaar door Als...
2 Laatste cijfer is even (0,2,4,6,8)
3 Som van cijfers deelbaar door 3
5 Het laatste cijfer is 0 of 5
7 Geen simpele regel – verdeel gewoon
11 Afwisselende cijfersom deelbaar door 11

Voorbeeld: is 143 een priemgetal?

  • Zelfs niet ✓
  • 1+4+3 = 8, niet deelbaar door 3 ✓
  • Eindigt niet op 0 of 5 ✓
  • √143 ≈ 11,96, controleer tot 11
  • 143 ÷ 7 = 20,43 ✓
  • 143 ÷ 11 = 13 — deelbaar!

143 = 11 × 13. Niet primair.

Waarom priemgetallen belangrijk zijn

Cryptografie: RSA-codering – gebruikt om internetbankieren, HTTPS en e-mail te beveiligen – is gebaseerd op het feit dat het vermenigvuldigen van twee grote priemgetallen eenvoudig is, maar het resultaat ervan weer in priemgetallen verwerken is uiterst moeilijk.

Informatica: Hashtabellen, generatoren van willekeurige getallen en controlesommen gebruiken eigenschappen van priemgetallen.

Pure wiskunde: De verdeling van priemgetallen blijft een van de diepste onopgeloste problemen in de wiskunde: de Riemann-hypothese.

Interessante feiten

  • Het grootste bekende priemgetal (vanaf 2024) heeft ruim 41 miljoen cijfers
  • Tweelingpriemgetallen zijn priemgetallen die 2 verschillen (11 en 13, 17 en 19, 41 en 43)
  • Er zijn oneindig veel priemgetallen – bewezen door Euclides rond 300 voor Christus
  • Het vermoeden van Goldbach (onbewezen sinds 1742): elk even getal > 2 is de som van twee priemgetallen

Lees volgende