Een kwadratische vergelijking heeft de vorm ax² + bx + c = 0. Er zijn vier methoden om ze op te lossen: als je weet welke je moet gebruiken en wanneer, wordt de algebra veel sneller.
Standaardformulier
Elke kwadratische vergelijking kan worden geschreven als:
ax² + bx + c = 0
Waar a ≠ 0 (als a = 0, is het een lineaire vergelijking).
Voorbeelden:
- x² − 5x + 6 = 0 (a=1, b=−5, c=6)
- 2x² + 3x − 2 = 0 (a=2, b=3, c=−2)
- x² − 9 = 0 (a=1, b=0, c=−9)
Methode 1: Factoring
Werkt het beste als de vergelijking netjes in gehele getallen wordt omgezet. Snelste methode indien van toepassing.
Stappen:
- Schrijf in standaardvorm
- Zoek twee getallen die zich vermenigvuldigen tot (a × c) en optellen bij b
- Splits de middellange termijn en factor door te groeperen
- Stel elke factor gelijk aan nul
Voorbeeld: x² − 5x + 6 = 0
- Twee getallen nodig: vermenigvuldigen tot 6, optellen bij −5 → −2 en −3
- Factor: (x − 2)(x − 3) = 0
- Oplossingen: x = 2 of x = 3
Voorbeeld: 2x² + 5x + 3 = 0
- a × c = 6, factoren nodig die optellen bij 5 → 2 en 3
- Herschrijven: 2x² + 2x + 3x + 3 = 0
- Deler: 2x(x + 1) + 3(x + 1) = 0
- Factor: (2x + 3)(x + 1) = 0
- Oplossingen: x = −3/2 of x = −1
Wanneer gebruiken: Wanneer u de factoren snel kunt herkennen. Als u de factoren niet binnen 30 seconden vindt, wissel dan van methode.
Methode 2: De kwadratische formule
Werkt voor elke kwadratische vergelijking. Gebruik dit als factoring niet voor de hand ligt.
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)
Voorbeeld: 2x² + 3x − 2 = 0 (a=2, b=3, c=−2)
- Discriminant: b² − 4ac = 9 − (4 × 2 × −2) = 9 + 16 = 25
- √25 = 5
- x = (−3 ± 5) ÷ 4
- x = (−3 + 5) ÷ 4 = 0,5 of x = (−3 − 5) ÷ 4 = −2
De discriminant: hoeveel oplossingen?
De uitdrukking b² − 4ac vertelt je de aard van oplossingen voordat je oplost:
| Discriminerend | Aantal oplossingen | Type |
|---|---|---|
| b² − 4ac > 0 | Twee verschillende echte oplossingen | Echte cijfers |
| b² − 4ac = 0 | Eén herhaalde oplossing | Echte, gelijke wortels |
| b² − 4ac < 0 | Geen echte oplossingen | Twee complexe/denkbeeldige wortels |
Voorbeeld: x² + 2x + 5 = 0
- Discriminant = 4 − 20 = −16 → geen echte oplossingen
- Complexe oplossingen: x = (−2 ± √(−16)) ÷ 2 = −1 ± 2i
Methode 3: Het vierkant voltooien
Transformeert de vergelijking in de vorm (x + p)² = q. Essentieel voor het begrijpen van de hoekpuntvorm en het afleiden van de kwadratische formule.
Stappen:
- Verplaats de constante naar de rechterkant
- Deel door a (als a ≠ 1)
- Voeg (b/2a)² toe aan beide kanten
- Factor de linkerkant als een perfect vierkant
- Neem de vierkantswortel van beide kanten
Voorbeeld: x² + 6x + 5 = 0
- x² + 6x = −5
- Voeg (6/2)² = 9 toe aan beide zijden: x² + 6x + 9 = 4
- (x + 3)² = 4
- x + 3 = ±2
- x = −1 of x = −5
Methode 4: Grafieken
De oplossingen (wortels) zijn de x-snijpunten van de parabool y = ax² + bx + c.
- Twee x-onderscheppingen → twee reële oplossingen
- Eén x-snijpunt (hoekpunt op x-as) → één herhaalde oplossing
- Geen x-onderscheppingen → geen echte oplossingen (complexe wortels)
Wanneer gebruiken: Voor visueel begrip of bij gebruik van een grafische rekenmachine. Niet praktisch voor exacte antwoorden.
De juiste methode kiezen
| Situatie | Beste methode |
|---|---|
| Gehele coëfficiënten, ziet er factoreerbaar uit | Eerst factoriseren |
| Voor elk kwadratisch getal is een exact antwoord nodig | Kwadratische formule |
| Vertex/minimum/maximum begrijpen | Het plein voltooien |
| Visueel begrip of benadering | Grafieken |
| b² − 4ac < 0 | Kwadratische formule (geeft complexe wortels) |
Snelle referentie: algemene patronen
Kwadratenverschil: x² − k² = (x + k)(x − k) = 0 → x = ±k
Perfecte vierkante trinominaal: x² + 2kx + k² = (x + k)² = 0 → x = −k (herhaald)
Geen middenterm: ax² + c = 0 → x = ±√(−c/a) (alleen reëel als c en a tegengestelde tekens hebben)
Som en product van wortels
Voor ax² + bx + c = 0 met wortels r₁ en r₂:
r₁ + r₂ = −b/a
r₁ × r₂ = c/a
Voorbeeld verificatie: x² − 5x + 6 = 0, wortels 2 en 3:
- Som: 2 + 3 = 5 = −(−5)/1 ✓
- Product: 2 × 3 = 6 = 6/1 ✓
Gebruik onze kubieke vergelijkingsoplosser voor vergelijkingen van graad 3, of pas de kwadratische formule hierboven toe voor elke standaard kwadratische formule.