Een z-score meet hoeveel standaarddeviaties een waarde afwijkt van het gemiddelde. Het is de basis van statistische gevolgtrekking, waardoor u elke normale verdeling kunt omzetten in een gestandaardiseerde schaal waarop u kansen kunt vinden met behulp van een universele normale tabel of rekenmachine.
De formule
z = (x - μ) / σ
Waar:
- x = de waarde die u evalueert
- μ (mu) = populatiegemiddelde
- σ (sigma) = standaardafwijking van de populatie
Een z-score van 0 betekent dat de waarde gelijk is aan het gemiddelde. Positieve z-scores liggen boven het gemiddelde; negatieve z-scores staan hieronder. De magnitude vertelt u de afstand in standaarddeviaties.
Uitgewerkt voorbeeld
Een toelatingsexamen voor een universiteit heeft een gemiddelde van 500 en een standaarddeviatie van 100. Je scoort 650. Wat is je z-score?
z = (650 - 500) / 100 = 150 / 100 = 1.5
Uw score ligt 1,5 standaardafwijking boven het gemiddelde. Gebruikmakend van de standaardnormaaltabel, P(z ≤ 1,5) ≈ 0,9332, wat betekent dat ongeveer 93,32% van de testpersonen onder u scoorde.
Z-Score-tabellen gebruiken
Nadat je z hebt berekend, zoek je de waarschijnlijkheid ervan op in een standaardnormale tabel, die de cumulatieve kansen P(Z ≤ z) oplevert. Tabellen tonen:
- Eenzijdige kansen: P(Z ≤ z) of P(Z ≥ z)
- Tweezijdige waarschijnlijkheden: nuttig voor betrouwbaarheidsintervallen en hypothesetests
Z = 1,96 komt bijvoorbeeld overeen met P(Z ≤ 1,96) ≈ 0,975. Het gebied in beide staarten voorbij z = ±1,96 is 0,05. Daarom is 1,96 de kritische waarde voor 95% betrouwbaarheidsintervallen.
Algemene Z-Score-cutoffs
| Z-score | Cumulatieve waarschijnlijkheid | Percentiel |
|---|---|---|
| -3 | 0.0013 | 0,13e |
| -2 | 0.0228 | 2.28e |
| -1 | 0.1587 | 15.87e |
| 0 | 0.5000 | 50e |
| 1 | 0.8413 | 84.13e |
| 2 | 0.9772 | 97.72e |
| 3 | 0.9987 | 99.87e |
Wanneer te gebruiken
Z-scores zijn essentieel voor:
- Vergelijken van waarden uit verschillende distributies
- Het vinden van kansen met behulp van de normale verdeling
- Identificeren van uitschieters (meestal |z| > 3)
- Hypothesetesten en betrouwbaarheidsintervallen
- Standaardiseren van testscores
Tips
Z-scores werken alleen voor normaal verdeelde gegevens. Als uw verdeling ernstig scheef is of zware staarten heeft, zullen z-scores misleidend zijn. Onthoud ook het verschil tussen z (populatieparameter) en t (steekproefstatistiek) – gebruik z als σ bekend is, en t als je dit schat op basis van de steekproef.
Gebruik onze Z-Score Calculator om scores om te zetten naar z-scores en direct kansen te vinden.