Pythagoras teorem er et av de mest kjente resultatene i all matematikk - enkelt nok til å angi på én linje, dypt nok til å ha over 370 kjente bevis. Her er alt du trenger å vite, fra formelen til praktiske bruksområder.
Formelen
For enhver rettvinklet trekant (en trekant med én 90° vinkel):
a^2 + b^2 = c^2
Der a og b er de to bena (sidene som danner den rette vinkelen) og c er hypotenusen (siden motsatt den rette vinkelen - alltid den lengste siden).
Finne hver side
Finne hypotenusen (c):
c = √(a^2 + b^2)
Finne et ben (a):
a = √(c^2 - b^2)
Finne det andre benet (b):
b = √(c^2 - a^2)
Bearbeidede eksempler
Eksempel 1: En rettvinklet trekant har ben på 3 cm og 4 cm. Finn hypotenusen.
- c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 cm
Eksempel 2: En stige på 10 meter lener seg mot en vegg, med bunnen 4 meter fra veggen. Hvor høyt når den?
- a = √(10² - 4²) = √(100 - 16) = √84 ≈ 9,17 meter
Pythagoras trippel
En pytagoreisk trippel er et sett med tre hele tall som tilfredsstiller a² + b² = c². Disse dukker ofte opp i problemer og er verdt å huske:
| en | b | c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 20 | 21 | 29 |
Ethvert multiplum av en trippel er også en trippel: (6, 8, 10), (9, 12, 15), (15, 20, 25) alle fungerer.
Et enkelt bevis
Det mest elegante beviset bruker områder. Tegn en stor firkant med side (a + b). Inni den, ordne fire kopier av den rette trekanten med ben a og b.
De fire trekantene tar opp arealet 4 × (½ab) = 2ab. Det gjenværende rommet i den store firkanten må være c² (firkanten på hypotenusen).
Den store firkanten har areal (a + b)² = a² + 2ab + b².
Altså: a² + 2ab + b² − 2ab = c²
Derfor: a² + b² = c²
Real-World-applikasjoner
Bygg og tømrerarbeid
«3-4-5-regelen» brukes hver dag på byggeplasser for å sjekke at hjørnene er helt firkantede. Mål 3 enheter langs en vegg, 4 enheter langs tilstøtende vegg, sjekk deretter at diagonalen måler nøyaktig 5 enheter. Hvis den gjør det, er vinkelen nøyaktig 90°.
Navigasjon
Før GPS brukte navigatører teoremet konstant. Hvis du reiser 30 km øst og deretter 40 km nord, er din rettlinjede avstand fra start √(30² + 40²) = √2500 = 50 km.
Moderne GPS-systemer bruker en 3D-utvidelse av teoremet for å beregne avstander mellom koordinater.
Skjermstørrelser
En "65-tommers TV" har et diagonalt skjermmål på 65 tommer. Hvis du kjenner sideforholdet (16:9), kan du finne nøyaktig bredde og høyde ved å bruke teoremet. For en 65" 16:9-skjerm: bredde ≈ 56,7", høyde ≈ 31,9".
Ingeniørfag og fysikk
Teoremet er grunnleggende innen konstruksjonsteknikk (beregning av bærende diagonaler), datagrafikk (gjengivelse av 3D-scener) og fysikk (beregning av resulterende vektorer - den kombinerte effekten av to krefter i rette vinkler).
The 3D Extension: Distance Formula
Pythagoras teoremet strekker seg naturlig til tre dimensjoner:
d = √((x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2)
Dette brukes i datagrafikk, fysikksimuleringer, GPS-beregninger og ethvert system som arbeider med 3D-koordinater.
Regn ut Pythagoras teorem nå
Bruk vår gratis kalkulator for å finne hvilken som helst side av en rettvinklet trekant gitt de to andre. Gå inn på to sider og få den tredje umiddelbart, sammen med trinnvis arbeid.