En z-score måler hvor mange standardavvik en verdi er fra gjennomsnittet. Det er grunnlaget for statistisk slutning, og lar deg konvertere enhver normalfordeling til en standardisert skala der du kan finne sannsynligheter ved å bruke en universell normaltabell eller kalkulator.
Formelen
z = (x - μ) / σ
Hvor:
- x = verdien du evaluerer
- μ (mu) = gjennomsnittlig populasjon
- σ (sigma) = populasjonsstandardavvik
En z-score på 0 betyr at verdien er lik gjennomsnittet. Positive z-skårer er over gjennomsnittet; negative z-score er nedenfor. Størrelsen forteller deg avstanden i standardavvik.
Bearbeidet eksempel
En opptaksprøve på høyskole har gjennomsnittlig 500 og standardavvik 100. Du får 650. Hva er z-skåren din?
z = (650 - 500) / 100 = 150 / 100 = 1.5
Poengsummen din er 1,5 standardavvik over gjennomsnittet. Ved å bruke standard normaltabell, P(z ≤ 1,5) ≈ 0,9332, noe som betyr at omtrent 93,32 % av testtakerne scoret under deg.
Bruke Z-Score-tabeller
Etter å ha beregnet z, slår du opp sannsynligheten i en standard normaltabell, som gir kumulative sannsynligheter P(Z ≤ z). Tabeller viser:
- Ensidige sannsynligheter: P(Z ≤ z) eller P(Z ≥ z)
- To-halede sannsynligheter: nyttig for konfidensintervaller og hypotesetester
For eksempel tilsvarer z = 1,96 P(Z ≤ 1,96) ≈ 0,975. Arealet i begge halene utover z = ±1,96 er 0,05, og derfor er 1,96 den kritiske verdien for 95 % konfidensintervaller.
Vanlige Z-Score Cutoffs
| Z-score | Kumulativ sannsynlighet | Persentil |
|---|---|---|
| -3 | 0.0013 | 0.13 |
| -2 | 0.0228 | 2.28 |
| -1 | 0.1587 | 15.87 |
| 0 | 0.5000 | 50 |
| 1 | 0.8413 | 84.13 |
| 2 | 0.9772 | 97,72 |
| 3 | 0.9987 | 99,87 |
Når skal brukes
Z-score er avgjørende for:
- Sammenligning av verdier fra ulike fordelinger
- Finne sannsynligheter ved hjelp av normalfordelingen
- Identifisere avvikere (vanligvis |z| > 3)
- Hypotesetesting og konfidensintervaller
- Standardisering av testresultater
Tips
Z-score fungerer kun for normalfordelte data. Hvis distribusjonen din er alvorlig skjev eller har tunge haler, vil z-score være misvisende. Husk også forskjellen mellom z (populasjonsparameter) og t (utvalgsstatistikk) - bruk z når σ er kjent, t når du estimerer det fra prøven.
Bruk vår Z-score-kalkulator for å konvertere poeng til z-score og finne sannsynligheter umiddelbart.