ଏକ ଚତୁର୍ଥାଂଶ ସମୀକରଣରେ ax² + bx + c = 0 ଫର୍ମ ଅଛି | ସେଗୁଡିକର ସମାଧାନ ପାଇଁ ଚାରୋଟି ପଦ୍ଧତି ଅଛି - କେଉଁଟି ବ୍ୟବହାର କରାଯିବ ଏବଂ କେତେବେଳେ ବୀଜ ବିବେଚନାକୁ ଅଧିକ ତୀବ୍ର କରିଥାଏ ତାହା ଜାଣିବା |

ମାନକ ଫର୍ମ |

ପ୍ରତ୍ୟେକ ଚତୁର୍ଭୁଜ ସମୀକରଣକୁ ଏହିପରି ଲେଖାଯାଇପାରିବ:

ax² + bx + c = 0

ଯେଉଁଠାରେ ଏକ ≠ 0 (ଯଦି a = 0, ଏହା ଏକ ର ar ଖ୍ୟ ସମୀକରଣ) |

** ଉଦାହରଣ: **

  • x² - 5x + 6 = 0 (a = 1, b = −5, c = 6)
  • 2x² + 3x - 2 = 0 (a = 2, b = 3, c = −2)
  • x² - 9 = 0 (a = 1, b = 0, c = −9)

ପଦ୍ଧତି 1: ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଙ୍ଗ୍ |

ଯେତେବେଳେ ସମୀକରଣ କାରକଗୁଡିକ ସଂପୂର୍ଣ୍ଣ ଭାବରେ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟାରେ କାର୍ଯ୍ୟ କରେ ସର୍ବୋତ୍ତମ କାର୍ଯ୍ୟ କରେ | ପ୍ରଯୁଜ୍ୟ ହେଲେ ଦ୍ରୁତତମ ପଦ୍ଧତି |

** ପଦକ୍ଷେପ: ** ଷ୍ଟାଣ୍ଡାର୍ଡ ଫର୍ମରେ ଲେଖନ୍ତୁ | 2। ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ଖୋଜ ଯାହାକି (a × c) କୁ ଗୁଣିତ ହୁଏ ଏବଂ b ରେ ଯୋଗ କର | 3। ଗ୍ରୁପ୍ କରି ମଧ୍ୟମ ଶବ୍ଦ ଏବଂ ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍ କୁ ବିଭାଜନ କର | ପ୍ରତ୍ୟେକ ଫ୍ୟାକ୍ଟରକୁ ଶୂନ୍ୟ ସହିତ ସମାନ କରନ୍ତୁ |

** ଉଦାହରଣ: ** x² - 5x + 6 = 0 |

  • ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା ଆବଶ୍ୟକ: 6 କୁ ଗୁଣ କର, −5 → ** - 2 ଏବଂ −3 ** ରେ ଯୋଗ କର |
  • କାରକ: (x - 2) (x - 3) = 0 |
  • ସମାଧାନ: ** x = 2 କିମ୍ବା x = 3 **

** ଉଦାହରଣ: ** 2x² + 5x + 3 = 0 |

  • a × c = 6, 5 → ** 2 ଏବଂ 3 ** ରେ ଯୋଗ କରୁଥିବା କାରକଗୁଡିକ ଆବଶ୍ୟକ କରେ |
  • ପୁନ r ଲିଖନ: 2x² + 2x + 3x + 3 = 0 |
  • କାରକ: 2x (x + 1) + 3 (x + 1) = 0 |
  • କାରକ: (2x + 3) (x + 1) = 0 |
  • ସମାଧାନ: ** x = −3/2 କିମ୍ବା x = −1 **

** କେବେ ବ୍ୟବହାର କରିବେ: ** ଯେତେବେଳେ ଆପଣ ଶୀଘ୍ର କାରକଗୁଡିକୁ ଚିହ୍ନି ପାରିବେ | ଯଦି ଆପଣ 30 ସେକେଣ୍ଡରେ ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍ ଖୋଜନ୍ତି ନାହିଁ, ପଦ୍ଧତିଗୁଡିକ ସୁଇଚ୍ କରନ୍ତୁ |

ପଦ୍ଧତି 2: ଚତୁର୍ଭୁଜ ସୂତ୍ର |

** ପ୍ରତ୍ୟେକ ** ଚତୁର୍ଭୁଜ ସମୀକରଣ ପାଇଁ କାର୍ଯ୍ୟ କରେ | ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଙ୍ଗ୍ ସ୍ପଷ୍ଟ ନଥିବାବେଳେ ଏହାକୁ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ |

x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)

** ଉଦାହରଣ: ** 2x² + 3x - 2 = 0 (a = 2, b = 3, c = −2)

  • ଭେଦଭାବକାରୀ: b² - 4ac = 9 - (4 × 2 × −2) = 9 + 16 = 25 |
  • √25 = 5
  • x = (−3 ± 5) ÷ 4 |
  • x = (−3 + 5) ÷ 4 = ** 0.5 ** କିମ୍ବା x = (−3 - 5) ÷ 4 = ** - 2 **

ଭେଦକାରୀ: କେତେ ସମାଧାନ?

ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି ** b² - 4ac ** ତୁମେ ସମାଧାନ କରିବା ପୂର୍ବରୁ ସମାଧାନର ପ୍ରକୃତି କହିଥାଏ:

|ଭେଦଭାବକାରୀ | | ସମାଧାନ ସଂଖ୍ୟା | ଟାଇପ୍ କରନ୍ତୁ || |---|---|---| |b² - 4ac> 0 | | ଦୁଇଟି ଭିନ୍ନ ପ୍ରକୃତ ସମାଧାନ | | ପ୍ରକୃତ ସଂଖ୍ୟା || |b² - 4ac = 0 | ଗୋଟିଏ ବାରମ୍ବାର ସମାଧାନ | | ପ୍ରକୃତ, ସମାନ ମୂଳ || |b² - 4ac <0 | କ real ଣସି ପ୍ରକୃତ ସମାଧାନ ନାହିଁ | | ଦୁଇଟି ଜଟିଳ / କଳ୍ପନା ମୂଳ ||

** ଉଦାହରଣ: ** x² + 2x + 5 = 0 |

  • ଭେଦଭାବକାରୀ = 4 - 20 = ** - 16 ** real କ real ଣସି ପ୍ରକୃତ ସମାଧାନ ନାହିଁ |
  • ଜଟିଳ ସମାଧାନ: x = (−2 ± √ (−16)) ÷ 2 = −1 ± 2i |

ପଦ୍ଧତି 3: ବର୍ଗ ସମାପ୍ତ କରିବା |

ସମୀକରଣକୁ (x + p) ² = q ଫର୍ମରେ ରୂପାନ୍ତର କରେ | ଭର୍ଟେକ୍ସ ଫର୍ମ ବୁ understanding ିବା ଏବଂ ଚତୁର୍ଭୁଜ ସୂତ୍ର ପାଇବା ପାଇଁ ଜରୁରୀ |

** ପଦକ୍ଷେପ: ** 1। ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ସ୍ଥିର କରନ୍ତୁ | 2। (ଯଦି ≠ 1) ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କରନ୍ତୁ | 3। ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ (b / 2a) Add ଯୋଡନ୍ତୁ | 4। ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍ ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଏକ ଉପଯୁକ୍ତ ବର୍ଗ ଭାବରେ | 5। ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ square ର ବର୍ଗ ମୂଳ ନିଅ |

** ଉଦାହରଣ: ** x² + 6x + 5 = 0 | 1। X² + 6x = −5 2। ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ (6/2) ² = 9 ଯୋଡନ୍ତୁ: x² + 6x + 9 = 4 | 3। (X + 3) ² = 4 | 4। X + 3 = ± 2 5। ** x = −1 କିମ୍ବା x = −5 **

ପଦ୍ଧତି 4: ଗ୍ରାଫିଂ |

ସମାଧାନ (ମୂଳ) ହେଉଛି ପାରାବୋଲା y = ax² + bx + c ର x- ଇଣ୍ଟରସେପ୍ଟ |

  • ଦୁଇଟି x- ଇଣ୍ଟରସେପ୍ଟ → ଦୁଇଟି ପ୍ରକୃତ ସମାଧାନ |
  • ଗୋଟିଏ x- ଇଣ୍ଟରସେପ୍ଟ (x-axis ଉପରେ ଭର୍ଟେକ୍ସ) → ଗୋଟିଏ ବାରମ୍ବାର ସମାଧାନ |
  • କ x ଣସି x- ହସ୍ତକ୍ଷେପ → କ real ଣସି ପ୍ରକୃତ ସମାଧାନ ନାହିଁ (ଜଟିଳ ମୂଳ) |

** କେବେ ବ୍ୟବହାର କରିବେ: ** ଭିଜୁଆଲ୍ ବୁ understanding ାମଣା ପାଇଁ କିମ୍ବା ଏକ ଗ୍ରାଫିଂ କାଲକୁଲେଟର ବ୍ୟବହାର କରିବା ସମୟରେ | ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର ପାଇଁ ବ୍ୟବହାରିକ ନୁହେଁ |

ସଠିକ୍ ପଦ୍ଧତି ବାଛିବା |

|ପରିସ୍ଥିତି | ସର୍ବୋତ୍ତମ ପଦ୍ଧତି || |---|---| |ଇଣ୍ଟିଜର୍ କୋଏଫେସିଏଣ୍ଟସ୍, ଫ୍ୟାକ୍ଟେବଲ୍ ଦେଖାଯାଏ | | ପ୍ରଥମେ ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଙ୍ଗ୍ || |ଯେକ Any ଣସି ଚତୁର୍ଭୁଜ, ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର ଆବଶ୍ୟକ | | ଚତୁର୍ଭୁଜ ସୂତ୍ର || |ଭର୍ଟେକ୍ସ / ସର୍ବନିମ୍ନ / ସର୍ବାଧିକ ବୁିବା | | ବର୍ଗ ସମାପ୍ତ କରିବା || |ଭିଜୁଆଲ୍ ବୁ understanding ାମଣା କିମ୍ବା ଆନୁମାନିକତା | | ଗ୍ରାଫିଂ| |b² - 4ac <0 | ଚତୁର୍ଭୁଜ ସୂତ୍ର (ଜଟିଳ ମୂଳ ଦେଇଥାଏ)|

ଦ୍ରୁତ ସନ୍ଦର୍ଭ: ସାଧାରଣ ନମୁନା |

** ବର୍ଗର ପାର୍ଥକ୍ୟ: ** x² - k² = (x + k) (x - k) = 0 → x = ± k

** ପରଫେକ୍ଟ ବର୍ଗ ତ୍ରିନୋମିଆଲ୍: ** x² + 2kx + k² = (x + k) ² = 0 → x = −k (ପୁନରାବୃତ୍ତି)

** କ middle ଣସି ମଧ୍ୟମ ଶବ୍ଦ ନାହିଁ: ** ax² + c = 0 → x = ± √ (−c / a) (କେବଳ ଯଦି c ଏବଂ ଏହାର ବିପରୀତ ଚିହ୍ନ ଥାଏ)

ମୂଳର ମୂଳ ଏବଂ ଉତ୍ପାଦ |

Ax² + bx + c = 0 ପାଇଁ ମୂଳ r₁ ଏବଂ r₂ ସହିତ:

r₁ + r₂ = −b/a
r₁ × r₂ = c/a

** ଉଦାହରଣ ଯାଞ୍ଚ: ** x² - 5x + 6 = 0, ମୂଳ 2 ଏବଂ 3:

  • ସମ: 2 + 3 = 5 = - (- 5) / 1 ✓ |
  • ଉତ୍ପାଦ: 2 × 3 = 6 = 6/1 ✓ |

ଡିଗ୍ରୀ -3 ସମୀକରଣ ପାଇଁ ଆମର ଘନ ସମୀକରଣ ସଲଭର ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ, କିମ୍ବା ଯେକ any ଣସି ମାନକ ଚତୁର୍ଭୁଜ ପାଇଁ ଉପରୋକ୍ତ ଚତୁର୍ଭୁଜ ସୂତ୍ରକୁ ପ୍ରୟୋଗ କରନ୍ତୁ |