ର line ଖ୍ୟ ବୀଜ ବିବେଚନା ଭୟଭୀତ ଶବ୍ଦ କରେ, କିନ୍ତୁ ଏହାର ମୂଳ ଧାରଣା ଚମତ୍କାର ଭାବରେ କଂକ୍ରିଟ୍ | ଭେକ୍ଟର, ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଏବଂ ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ଅପରେସନ୍ ପଦାର୍ଥ ବିଜ୍ଞାନ ସିମୁଲେସନ୍ ଠାରୁ ଆରମ୍ଭ କରି ମେସିନ୍ ଲର୍ନିଂ ମଡେଲ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସବୁକିଛି ବର୍ଣ୍ଣନା କରେ | ଏହି ଗାଇଡ୍ ମ ament ଳିକତାକୁ ସୁଗମ କରିଥାଏ - କ advanced ଣସି ଉନ୍ନତ ବିଜ୍ଞପ୍ତି ଆବଶ୍ୟକ ନାହିଁ |

ଏକ ଭେକ୍ଟର୍ କ’ଣ?

ଏକ ଭେକ୍ଟର ହେଉଛି ଉଭୟ ପରିମାଣ (ଆକାର) ଏବଂ ଦିଗ ସହିତ କେବଳ ଏକ ପରିମାଣ | 2D ରେ, ** v ** = [3, 4] ପରି ଏକ ଭେକ୍ଟର ଅର୍ଥ ହେଉଛି "3 ୟୁନିଟ୍ ଡାହାଣକୁ ଏବଂ 4 ୟୁନିଟ୍ ଉପରକୁ ଘୁଞ୍ଚାନ୍ତୁ |" 3D ରେ, ଆପଣ ଏକ ତୃତୀୟ ଉପାଦାନ ଯୋଗ କରନ୍ତି: ** v ** = [3, 4, 2] |

ଜ୍ୟାମିତିକ ଦୃଷ୍ଟିରୁ, ଏକ ଭେକ୍ଟର ମୂଳରୁ ଏକ ବିନ୍ଦୁ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଏକ ତୀର | ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଭାବରେ, ଏହା ସଂଖ୍ୟା (ଉପାଦାନ) ର ଏକ ଅର୍ଡର ତାଲିକା | ଉଭୟ ଦୃଶ୍ୟ ସମାନ ଭାବରେ ବ valid ଧ ଏବଂ ଆପଣ କ୍ରମାଗତ ଭାବରେ ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ସୁଇଚ୍ କରିବେ |

** ଏକ ଭେକ୍ଟରର ମ୍ୟାଗ୍ନିଚ୍ୟୁଡ୍ ** (ଲମ୍ବ) ପାଇଥାଗୋରୀୟ ଥିଓରେମ୍ କୁ n ଆକାରରେ ସାଧାରଣ ଭାବରେ ବ୍ୟବହାର କରେ:

|v| = √(v₁² + v₂² + v₃²)

** v ** = [3, 4] ପାଇଁ: | v | | = √ (9 + 16) = √25 = ** 5 **

ଏକ ** ୟୁନିଟ୍ ଭେକ୍ଟର ** ର ପରିମାଣ ଠିକ୍ 1 ଅଟେ | ଯେକ any ଣସି ଭେକ୍ଟରକୁ ଏକ ୟୁନିଟ୍ ଭେକ୍ଟରରେ ପରିଣତ କରିବାକୁ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉପାଦାନକୁ ମ୍ୟାଗ୍ନିଟେଡ୍ ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ: ** v̂ ** = ** v ** / | ** v ** | |

ଭେକ୍ଟର ଆଡିଶନ୍ ଏବଂ ସ୍କାଲାର୍ ଗୁଣନ |

ଦୁଇଟି ଭେକ୍ଟର ଉପାଦାନ-ଜ୍ଞାନ ଯୋଗ କରେ:

[1, 2, 3] + [4, 5, 6] = [5, 7, 9]

ଜ୍ୟାମିତିକ ଦୃଷ୍ଟିରୁ ଏହା ହେଉଛି “ହେଡ୍-ଟୁ-ଟେଲ୍” ନିୟମ - ଦ୍ୱିତୀୟ ଭେକ୍ଟରର ଲାଞ୍ଜକୁ ପ୍ରଥମ ଭେକ୍ଟରର ମୁଣ୍ଡରେ ରଖ |

ଏକ ସ୍କାଲାର୍ (ସାଧାରଣ ସଂଖ୍ୟା) ମାପ ଦ୍ୱାରା ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉପାଦାନକୁ ଗୁଣନ:

3 × [1, 2, 3] = [3, 6, 9]

ସକରାତ୍ମକ ସ୍କାଲାର୍ ଭେକ୍ଟରକୁ ବିସ୍ତାର କରେ; −1 ର ଏକ ସ୍କାଲାର୍ ଏହାର ଦିଗକୁ ଓଲଟାଇଥାଏ | 0 ରୁ 1 ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସ୍କାଲାର୍ ଏହାକୁ ସଙ୍କୋଚନ କରେ |

ଡଟ୍ ଉତ୍ପାଦ |

ଦୁଇଟି ଭେକ୍ଟରର ** ଡଟ୍ ଉତ୍ପାଦ ** ଏକ ସ୍କାଲାର୍ (ଏକକ ସଂଖ୍ୟା) ଉତ୍ପାଦନ କରେ:

A·B = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

** A ** = [1, 2, 3] ଏବଂ ** B ** = [4, 5, 6] ପାଇଁ:

A·B = (1×4) + (2×5) + (3×6) = 4 + 10 + 18 = 32

ଜ୍ୟାମିତିକ ଅର୍ଥ ଅଧିକ ପ୍ରକାଶ କରେ:

A·B = |A| × |B| × cos(θ)

ଯେଉଁଠାରେ θ ହେଉଛି ଭେକ୍ଟର ମଧ୍ୟରେ କୋଣ | ଏହା ଆମକୁ ଏକ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ବୁ ight ାମଣା ଦେଇଥାଏ:

  • ** A · B & gt; 0: ** କୋଣ & lt; 90 ° - ଭେକ୍ଟରଗୁଡ଼ିକ ପ୍ରାୟ ସମାନ ଦିଗକୁ ସୂଚିତ କରନ୍ତି |
  • ** A · B = 0: ** କୋଣ = 90 ° - ଭେକ୍ଟର୍ ଗୁଡିକ ** ପର୍ପେଣ୍ଡିକୁଲାର୍ (ଅର୍ଥୋଗୋନାଲ୍) ** |
  • ** A · B & lt; 0: ** କୋଣ & gt; 90 ° - ଭେକ୍ଟରଗୁଡିକ ପ୍ରାୟ ବିପରୀତ ଦିଗକୁ ସୂଚିତ କରନ୍ତି |

ପ୍ରୟୋଗ ଗଣିତରେ ଡଟ୍ ଉତ୍ପାଦ ସର୍ବତ୍ର ଅଛି | ମେସିନ୍ ଲର୍ନିଂ ଡକ୍ୟୁମେଣ୍ଟ୍ ଏବଂ ଉପଭୋକ୍ତା ପସନ୍ଦକୁ ତୁଳନା କରିବା ପାଇଁ ** କୋସାଇନ୍ ସମାନତା ** (ଡଟ୍ ପ୍ରଡକ୍ଟ ମ୍ୟାଗ୍ନିଡ୍ୟୁଡ୍ ଉତ୍ପାଦ ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ) ବ୍ୟବହାର କରେ | କାର୍ଯ୍ୟ ଗଣିବା ପାଇଁ ପଦାର୍ଥ ବିଜ୍ଞାନ ଏହାକୁ ବ୍ୟବହାର କରେ: W = F · d (ଫୋର୍ସ ଡଟ୍ ବିସ୍ଥାପନ) |

କ୍ରସ୍ ଉତ୍ପାଦ |

** କ୍ରସ୍ ଉତ୍ପାଦ ** କେବଳ 3D ରେ କାମ କରେ ଏବଂ ଉଭୟ ଇନପୁଟ୍ ପାଇଁ ଏକ ଭେକ୍ଟର (ସ୍କାଲାର୍ ନୁହେଁ) ଉତ୍ପାଦନ କରେ:

A × B = [a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁]

ଦିଗଟି ** ଡାହାଣ ହାତର ନିୟମ ଅନୁସରଣ କରେ: ଆଙ୍ଗୁଠିକୁ A ଆଡକୁ ଦେଖ, ସେମାନଙ୍କୁ B ଆଡକୁ କୁଞ୍ଚ କର, ଏବଂ ଆଙ୍ଗୁଠି ବିନ୍ଦୁ A × B ଦିଗରେ |

A × B ର ତୀବ୍ରତା ଦୁଇଟି ଭେକ୍ଟର ଦ୍ୱାରା ବିସ୍ତାରିତ ସମାନ୍ତରାଳର କ୍ଷେତ୍ର ସହିତ ସମାନ:

|A × B| = |A| × |B| × sin(θ)

ଡଟ୍ ଉତ୍ପାଦ ପରି, କ୍ରସ୍ ଉତ୍ପାଦଟି ଆଣ୍ଟି-କମ୍ୟୁଟିଭ୍ ଅଟେ: ** A × B = - (B × A) ** |

** ପ୍ରୟୋଗଗୁଡ଼ିକ: ** ପଦାର୍ଥ ବିଜ୍ଞାନରେ ଟର୍କ ହେଉଛି τ = r × F. କମ୍ପ୍ୟୁଟର ଗ୍ରାଫିକ୍ସରେ ସର୍ଫେସ୍ ସାଧାରଣ (ଏକ ପୃଷ୍ଠର ଦିଗ) ଧାର ଭେକ୍ଟରର କ୍ରସ୍ ଉତ୍ପାଦ ଭାବରେ ଗଣନା କରାଯାଏ |

ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ କ’ଣ?

ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ହେଉଛି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଏକ ଆୟତାକାର ଆରେ, ଧାଡି ଏବଂ ସ୍ତମ୍ଭରେ ସଂଗଠିତ | 3 × 2 ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସରେ 3 ଧାଡି ଏବଂ 2 ସ୍ତମ୍ଭ ଅଛି |

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ** ର ar ଖ୍ୟ ରୂପାନ୍ତରଣକୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ ** କରେ - କାର୍ଯ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ଯାହା ଷ୍ଟ୍ରେଚ୍, ଘୂର୍ଣ୍ଣନ, ପ୍ରତିଫଳିତ, କିମ୍ବା ଶିଅର୍ ଭେକ୍ଟର୍ | ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଦ୍ୱାରା ଏକ ଭେକ୍ଟରକୁ ଗୁଣନ କରିବା ଏହାକୁ ରୂପାନ୍ତର କରେ |

2 × 2 ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ A ଏବଂ ଭେକ୍ଟର ** v ** ପାଇଁ:

A = [[3, 0],    v = [1]    Av = [3×1 + 0×2] = [3]
     [0, 2]]        [2]         [0×1 + 2×2]   [4]

ଏହି ରୂପାନ୍ତରଣ x- ଉପାଦାନକୁ 3 ଏବଂ y- ଉପାଦାନକୁ 2 ଦ୍ୱାରା ମାପ କରିଥାଏ |

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଗୁଣନ |

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ C = AB ଦେବା ପାଇଁ ଦୁଇଟି ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ A ଏବଂ B ବହୁଗୁଣିତ ହୁଏ, ଯେଉଁଠାରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉପାଦାନ c_ij ହେଉଛି B ର ସ୍ତମ୍ଭ j ସହିତ A ର ଧାଡିର ଡଟ୍ ଉତ୍ପାଦ |

[1, 2] × [5, 6] = [(1×5 + 2×7), (1×6 + 2×8)] = [19, 22]
[3, 4]   [7, 8]   [(3×5 + 4×7), (3×6 + 4×8)]   [43, 50]

** ଗୁରୁତର ନିୟମ: **

  • AB ରେ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରାଯାଏ ଯେତେବେଳେ A ରେ ସ୍ତମ୍ଭ ସଂଖ୍ୟା B ରେ ଧାଡି ସଂଖ୍ୟା ସହିତ ସମାନ |
  • ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଗୁଣନ ସାଧାରଣତ ** ** ଯାତାୟାତ ନୁହେଁ **: AB ≠ BA |

ନିର୍ଣ୍ଣୟକାରୀ

ଏକ ବର୍ଗ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସର ** ନିର୍ଣ୍ଣୟକାରୀ ହେଉଛି ଏକ ସ୍କାଲାର୍ ଯାହା ଆପଣଙ୍କୁ କହିଥାଏ ଯେ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ମାପକାଠି କ୍ଷେତ୍ର (2D ରେ) କିମ୍ବା ଭଲ୍ୟୁମ୍ (3D ରେ) |

2 × 2 ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ପାଇଁ:

det [[a, b]] = ad - bc
    [[c, d]]
ନିର୍ଣ୍ଣୟ ମୂଲ୍ୟ ଅର୍ଥ
det & gt; 0 ପରିବର୍ତ୍ତନ ଆଭିମୁଖ୍ୟ ସଂରକ୍ଷଣ କରେ
det & lt; 0 ପରିବର୍ତ୍ତନ ପ୍ରତିଫଳିତ ହୁଏ (ଫ୍ଲିପ୍ ଆରିଏଣ୍ଟେସନ୍)
det
det
det = 0 ରୂପାନ୍ତର ଏକକ ଅଟେ - ନିମ୍ନ ଆକାରକୁ ସ୍କ୍ୱାସ୍

ଯେତେବେଳେ det = 0, ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ** ଏକକ ** - ଏହାର କ in ଣସି ଓଲଟା ନାହିଁ, ଏବଂ ଏହା ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରୁଥିବା ସମୀକରଣର ସିଷ୍ଟମର କ solution ଣସି ସମାଧାନ କିମ୍ବା ଅସୀମ ଅନେକ ନାହିଁ |

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଓଲଟା |

ଓଲଟା A⁻¹ AA⁻¹ = I (ପରିଚୟ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ) କୁ ସନ୍ତୁଷ୍ଟ କରେ | Det (A) ≠ 0 ହେଲେ ଏହା ବିଦ୍ୟମାନ |

2 × 2 ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ପାଇଁ:

A = [[a, b]]    A⁻¹ = (1/det) × [[ d, -b]]
    [[c, d]]                     [[-c,  a]]

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଇନଭର୍ସ ** ର line ଖ୍ୟ ସମୀକରଣର ସିଷ୍ଟମ ସମାଧାନ ପାଇଁ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ **: ଯଦି Ax = b, ତେବେ x = A⁻¹b |

ଅଭ୍ୟାସରେ, ବୃହତ ସିଷ୍ଟମଗୁଡିକ A⁻¹ କୁ ସିଧାସଳଖ ଗଣନା କରିବା ପରିବର୍ତ୍ତେ ଗ uss ସିଆନ୍ ବିଲୋପ ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରାଯାଇଥାଏ - ସାଂଖ୍ୟିକ ଭାବରେ ଅଧିକ ଦକ୍ଷ ଏବଂ ସ୍ଥିର |

Eigenvalues ​​ଏବଂ Eigenvectors |

ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସର ଏକ ** ଇଜେନଭେକ୍ଟର୍ ** ହେଉଛି ଏକ ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର ଭେକ୍ଟର୍ ** v ** ଯାହା, ଯେତେବେଳେ A ଦ୍ୱାରା ରୂପାନ୍ତରିତ ହୁଏ, ସେତେବେଳେ କେବଳ ମାପ ହୋଇଯାଏ (ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ହୋଇନଥାଏ):

Av = λv

ସ୍କାଲାର୍ λ ହେଉଛି ଅନୁରୂପ ** ଇଜେନଭାଲ୍ ** - ଏହା ଆପଣଙ୍କୁ କହିଥାଏ ଯେ ଇଜେନଭେକ୍ଟର କେତେ ପ୍ରସାରିତ କିମ୍ବା ସଙ୍କୁଚିତ ହୁଏ |

ଇଜେନଭାଲ୍ ଖୋଜିବା ପାଇଁ, ଚରିତ୍ରିକ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ:

det(A - λI) = 0

2 × 2 ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ପାଇଁ ଏହା (ସାଧାରଣତ)) ଦୁଇଟି ସମାଧାନ ସହିତ ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜ ସମୀକରଣ ଦେଇଥାଏ |

** ଇଜେନଭାଲ୍ କାହିଁକି ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ? **

  • ** ପ୍ରିନ୍ସିପାଲ୍ କମ୍ପୋନେଣ୍ଟ୍ ଆନାଲିସିସ୍ (PCA): ** ଡାଟା କୋଭାରିଆନ୍ସ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସର ଇଜେନଭେକ୍ଟରମାନେ ସର୍ବାଧିକ ଭିନ୍ନତାର ଦିଗକୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରନ୍ତି - “ମୂଖ୍ୟ ଉପାଦାନ” ଯାହା ସୂଚନା ସଂରକ୍ଷଣ କରିବା ସମୟରେ ଡାଇମେନ୍ସନାଲିଟି ହ୍ରାସ କରେ |
  • ** ଗୁଗୁଲ୍ ପେଜ୍ ର୍ୟାଙ୍କ: ** ୱେବ୍ ଲିଙ୍କ୍ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସର ପ୍ରାଧାନ୍ୟ ଇଜେନଭେକ୍ଟର୍ ଏକ ଅନିୟମିତ ୱେବ୍ ସର୍ଫର୍ ର ସ୍ଥିର ବଣ୍ଟନ ପ୍ରଦାନ କରେ |
  • ** କ୍ୱାଣ୍ଟମ୍ ମେକାନିକ୍ସ: ** ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣଯୋଗ୍ୟ ପରିମାଣ (ଶକ୍ତି ସ୍ତର, ସ୍ପିନ୍ ଷ୍ଟେଟସ୍) ହେଉଛି ଅପରେଟର୍ମାନଙ୍କର ଇଜେନଭାଲ୍ୟୁସ୍ |

ପୋଲାର ସଂଯୋଜକ |

ଯଦିଓ ର ar ଖ୍ୟ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣର ଏକ ଅଂଶ ନୁହେଁ, ସଂଯୋଜନା ପ୍ରଣାଳୀଗୁଡ଼ିକ ପରିବର୍ତ୍ତନ ସହିତ ଜଡିତ | ** ପୋଲାର କୋର୍ଡିନେଟ୍ ** ଏହାର ଉତ୍ପତ୍ତି ଠାରୁ ଦୂରତା ଏବଂ କୋଣ positive ସକରାତ୍ମକ x- ଅକ୍ଷରୁ ଯେକ any ଣସି 2D ବିନ୍ଦୁକୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରେ |

ସିଷ୍ଟମ୍ ମଧ୍ୟରେ ରୂପାନ୍ତର:

Cartesian → Polar:   r = √(x² + y²),  θ = atan2(y, x)
Polar → Cartesian:   x = r cos(θ),    y = r sin(θ)

ପୋଲାର୍ କୋର୍ଡିନେଟ୍ ସର୍କଲ୍ ଏବଂ ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ସହିତ ଜଡିତ ଅନେକ ସମସ୍ୟାକୁ ସରଳ କରିଥାଏ - କାର୍ଟେସିଆନ୍ରେ ଜଟିଳ ସମୀକରଣ ପୋଲାର ଆକାରରେ ଚମତ୍କାର ହୋଇଯାଏ |

ଏହାକୁ ଏକାଠି ରଖିବା |

ର Line ଖ୍ୟ ବୀଜ ବିବେଚନା ଶକ୍ତିରୁ ଏହା ଆସିଥାଏ ଯେ ଏହା ଆପଣଙ୍କୁ ଏକ ଗାଣିତିକ ବସ୍ତୁ ଭାବରେ ଏକକାଳୀନ ଅନେକ ଭେରିଏବଲ୍ ସହିତ କାମ କରିବାକୁ ଦିଏ | ଲକ୍ଷ ଲକ୍ଷ ପାରାମିଟର ସହିତ ଏକ ମେସିନ୍ ଲର୍ନିଂ ମଡେଲ୍ କେବଳ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଗୁଣନ ଏବଂ ଅଣ-ର ar ଖ୍ୟ କାର୍ଯ୍ୟଗୁଡ଼ିକର ଏକ କ୍ରମ | ଏକ 3D ଗେମ୍ ଇଞ୍ଜିନ୍ ଘୂର୍ଣ୍ଣନ, ସ୍କେଲିଂ ଏବଂ ପ୍ରୋଜେକସନ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ସହିତ ପ୍ରତି ସେକେଣ୍ଡରେ ଲକ୍ଷ ଲକ୍ଷ ଭର୍ଟିକ୍ସକୁ ରୂପାନ୍ତର କରୁଛି |

ମ ament ଳିକତା - ଭେକ୍ଟର, ଡଟ୍ ଉତ୍ପାଦ, ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ, ନିର୍ଣ୍ଣୟକାରୀ - ଏହାର ସମସ୍ତ ପାଇଁ ମୂଳଦୁଆ |

ଆମର [ଡଟ୍ ପ୍ରଡକ୍ଟ କାଲକୁଲେଟର] (/ en / math / algebra / vector-dot-product), [କ୍ରସ୍ ପ୍ରଡକ୍ଟ କାଲକୁଲେଟର] (/ en / math / algebra / vector-cross-product), [Matrix Determinant Calculator] (/ en / math / algebra / matrix-determinant), [Matrix Inverse Calculator] (/ en / math / alge) ଏହି ଧାରଣାଗୁଡ଼ିକୁ ପାରସ୍ପରିକ ଭାବରେ ଅନୁସନ୍ଧାନ କରିବାକୁ କାଲକୁଲେଟର] (/ en / math / algebra / eigenvalue) |