Termeni cheie
Înainte de a examina formulele, trebuie să cunoaștem conceptele de bază:
| Termen | Simbol | Definiție |
|---|---|---|
| Rază | r | Distanța de la centru la margine |
| Diametru | d | Distanța prin cerc (d = 2r) |
| Circumferință | C | Distanța în jurul cercului |
| Arie | A | Spațiul din interiorul cercului |
| Pi | π | Constantă matematică ≈ 3,14159 |
Calcularea circumferinței
Circumferința este distanța totală în jurul cercului.
Formulă: $$C = 2\pi r \quad ext{sau} \quad C = \pi d$$
Exemplu: Rază = 5 cm
$$C = 2 imes 3{,}14159 imes 5 = 31{,}42 ext{ cm}$$
Calcularea ariei
Aria este spațiul ocupat de cerc.
Formulă: $$A = \pi r^2$$
Exemplu: Rază = 5 cm
$$A = 3{,}14159 imes 5^2 = 78{,}54 ext{ cm}^2$$
Calculul invers
Dacă cunoști circumferința sau aria:
| Date | Calculează | Formulă |
|---|---|---|
| Circumferință C | Rază | r = C / (2π) |
| Arie A | Rază | r = √(A / π) |
| Circumferință C | Diametru | d = C / π |
Exemplu: Un câmp circular are circumferința de 150 m.
- Rază: r = 150 / (2π) = 23,87 m
- Arie: A = π × 23,87² ≈ 1.790 m²
Exemple practice
Secțiunea transversală a unui tub: Diametru = 40 mm → r = 20 mm $$A = \pi imes 20^2 = 400\pi pprox 1{.}257 ext{ mm}^2$$
Pistă de atletism: Rază = 40 m $$C = 2\pi imes 40 = 80\pi pprox 251{,}3 ext{ m}$$
Comparație pizza:
- 1 pizza de 14 inci: A = π × 7² = 49π ≈ 153,9 in²
- 2 pizza de 10 inci: A = 2 × π × 5² = 50π ≈ 157,1 in²
Cele două pizza mici împreună sunt puțin mai mari!
Sectoare și arce
Un sector este o felie de tort dintr-un cerc.
Lungimea arcului: $$L = rac{ heta}{360} imes 2\pi r \quad ext{(grade)}$$ $$L = heta r \quad ext{(radiani)}$$
Aria sectorului: $$A = rac{ heta}{360} imes \pi r^2 \quad ext{(grade)}$$ $$A = rac{1}{2}r^2 heta \quad ext{(radiani)}$$
Exemplu: Sector de 45°, r = 8 cm
- Lungimea arcului: (45/360) × 2π × 8 ≈ 6,28 cm
- Aria sectorului: (45/360) × π × 64 ≈ 25,13 cm²
Coroană circulară (inel)
O coroană este aria dintre două cercuri concentrice.
$$A = \pi(R^2 - r^2)$$
Exemplu: Raza exterioară R = 10 m, raza interioară r = 7 m $$A = \pi(100 - 49) = 51\pi pprox 160{,}2 ext{ m}^2$$
Rezumatul formulelor
| Formulă | Expresie |
|---|---|
| Circumferință | C = 2πr = πd |
| Arie | A = πr² |
| Raza din circumferință | r = C/(2π) |
| Raza din arie | r = √(A/π) |
| Lungimea arcului | L = (θ/360) × 2πr |
| Aria sectorului | A = (θ/360) × πr² |
| Coroană | A = π(R² − r²) |
Folosiți calculatorul nostru de circumferință și arie a cercului pentru calcule rapide.