Teorema lui Pitagora este unul dintre cele mai faimoase rezultate din întreaga matematică - suficient de simplu pentru a fi afirmat într-o singură linie, suficient de profund pentru a avea peste 370 de dovezi cunoscute. Iată tot ce trebuie să știi, de la formulă până la aplicații practice.
Formula
Pentru orice triunghi dreptunghic (un triunghi cu un unghi de 90°):
a^2 + b^2 = c^2
Unde a și b sunt cele două catete (laturile care formează unghiul drept) și c este ipotenuza (latura opusă unghiului drept - întotdeauna cea mai lungă latură).
Găsirea fiecărei părți
Găsirea ipotenuzei (c):
c = √(a^2 + b^2)
Găsirea unui picior (a):
a = √(c^2 - b^2)
Găsirea celuilalt picior (b):
b = √(c^2 - a^2)
Exemple lucrate
Exemplu 1: Un triunghi dreptunghic are catete de 3 cm și 4 cm. Aflați ipotenuza.
- c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 cm
Exemplu 2: O scară de 10 metri lungime se sprijină de un perete, cu baza la 4 metri de perete. Cât de sus ajunge?
- a = √(10² - 4²) = √(100 - 16) = √84 ≈ 9,17 metri
Triple lui Pitagore
Un triplu pitagoreic este o mulțime de trei numere întregi care satisfac a² + b² = c². Acestea apar adesea în probleme și merită reținute:
| o | b | c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 20 | 21 | 29 |
Orice multiplu al unui triplu este, de asemenea, un triplu: (6, 8, 10), (9, 12, 15), (15, 20, 25) toate funcționează.
O dovadă simplă
Cea mai elegantă dovadă folosește zone. Desenați un pătrat mare cu latura (a + b). În interiorul acestuia, aranjați patru copii ale triunghiului dreptunghic cu catetele a și b.
Cele patru triunghiuri ocupă aria 4 × (½ab) = 2ab. Spațiul rămas în pătratul mare trebuie să fie c² (pătratul de pe ipotenuză).
Pătratul mare are aria (a + b)² = a² + 2ab + b².
Deci: a² + 2ab + b² − 2ab = c²
Prin urmare: a² + b² = c²
Aplicații din lumea reală
Constructii si Tamplarie
„Regula 3-4-5” este folosită în fiecare zi pe șantiere pentru a verifica dacă colțurile sunt perfect pătrate. Măsurați 3 unități de-a lungul unui perete, 4 unități de-a lungul peretelui adiacent, apoi verificați dacă diagonala măsoară exact 5 unități. Dacă se întâmplă, unghiul este exact de 90°.
Navigare
Înainte de GPS, navigatorii foloseau teorema în mod constant. Dacă călătoriți 30 km est și apoi 40 km nord, distanța în linie dreaptă de la început este √(30² + 40²) = √2500 = 50 km.
Sistemele GPS moderne folosesc o extensie 3D a teoremei pentru a calcula distanțele dintre coordonate.
Dimensiunile ecranului
Un „TV de 65 de inchi” are o diagonală a ecranului de 65 de inchi. Dacă cunoașteți raportul de aspect (16:9), puteți găsi lățimea și înălțimea exactă folosind teorema. Pentru un ecran de 65" 16:9: lățime ≈ 56,7", înălțime ≈ 31,9".
Inginerie și fizică
Teorema este fundamentală în inginerie structurală (calcularea diagonalelor portante), grafica computerizată (redarea scenelor 3D) și fizică (calcularea vectorilor rezultanți - efectul combinat a două forțe în unghi drept).
Extensia 3D: Formula distanței
Teorema lui Pitagora se extinde în mod natural la trei dimensiuni:
d = √((x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2)
Acesta este utilizat în grafica computerizată, simulări de fizică, calcule GPS și orice sistem care funcționează cu coordonate 3D.
Calculați acum teorema lui Pitagora
Utilizați calculatorul nostru gratuit pentru a găsi orice latură a unui triunghi dreptunghic având în vedere celelalte două. Introduceți oricare două părți și obțineți a treia instantaneu, împreună cu lucrul pas cu pas.