O ecuație cubică este un polinom de gradul 3, cu forma generală ax³ + bx² + cx + d = 0. Spre deosebire de ecuațiile pătratice, ecuațiile cubice pot avea 1, 2 sau 3 soluții reale și nu au o formulă simplă în formă închisă pe care majoritatea oamenilor o învață la școală. Cu toate acestea, ele sunt rezolvabile folosind formula lui Cardano sau metode numerice.

Forma generală

ax³ + bx² + cx + d = 0

Unde a ≠ 0 (altfel nu este cubic). Ecuația poate avea:

  • 3 rădăcini reale distincte
  • 1 rădăcină reală și 2 rădăcini complexe conjugate
  • O rădăcină repetată (când discriminantul este egal cu zero)

Formula lui Cardano

Pentru a utiliza formula lui Cardano, mai întâi apăsați cubic (eliminați termenul x²) înlocuind x = t - b/(3a):

t³ + pt + q = 0

Apoi rădăcinile sunt găsite folosind o formulă complexă care implică discriminantul:

Δ = -4p³ - 27q²

Dacă Δ > 0: trei rădăcini reale distincte Dacă Δ = 0: cel puțin două rădăcini reale egale Dacă Δ < 0: o rădăcină reală și două rădăcini complexe conjugate

Exemplu de lucru

Rezolvați x³ - 6x² + 11x - 6 = 0

Prin inspecție sau încercare, putem testa numere întregi mici. Testarea x = 1:

1 - 6 + 11 - 6 = 0 ✓

Deci x = 1 este o rădăcină. Eliminarea în factor (x - 1):

(x - 1)(x² - 5x + 6) = 0
(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0

Cele trei rădăcini sunt x = 1, 2, 3.

Găsirea rădăcinilor fără factoring

Pentru ecuațiile cubice care nu se factorizează bine, utilizați:

  1. Formula lui Cardano (algebric exactă, dar complicată)
  2. Metode numerice precum Newton-Raphson (iterativ, găsește o rădăcină la un moment dat)
  3. Reprezentare grafică pentru estimarea rădăcinilor și rafinarea cu Newton-Raphson

Aplicații

Ecuațiile cubice apar în:

  • Inginerie (analiza stres-deformare, dinamica fluidelor)
  • Fizica (mișcare de proiectil în mediu de rezistență, materiale cubice)
  • Economie (probleme de optimizare, curbe ale costurilor de producție)
  • Grafică pe computer (curbe Bézier cubice)

Sfaturi

Dacă bănuiți că există rădăcini raționale, utilizați Teorema Rădăcinii Raționale: orice rădăcină rațională p/q are p împărțind d și q împărțind a. Acest lucru restrânge candidații dvs. de testare în mod semnificativ. Verificați întotdeauna rădăcinile prin înlocuire.

Utilizați Cubic Equation Solver pentru a găsi instantaneu toate rădăcinile, fie reale sau complexe.