Un scor z (sau scor standard) măsoară câte abateri standard este un punct de date de la medie. Acesta convertește scorurile brute într-o scală standardizată care permite compararea între diferite seturi de date.
Formula scorului Z
z = (x − μ) ÷ σ
Unde:
- x = punct de date individual
- μ (mu) = media populației
- σ (sigma) = abaterea standard a populației
Pentru o probă, înlocuiți μ cu x̄ (media eșantionului) și σ cu s (probă SD).
Exemplu de lucru
Un student obține nota 72 la un examen. Media clasei este 65, iar abaterea standard este 8.
z = (72 − 65) ÷ 8 = 7 ÷ 8 = 0.875
Acest elev a obținut 0,875 abateri standard peste medie.
Interpretarea Z-Scores
| Scorul Z | Interpretare | Percentila (aprox.) |
|---|---|---|
| −3 | Extrem de sub medie | 0.1% |
| −2 | Cu mult sub medie | 2.3% |
| −1 | Sub medie | 15.9% |
| 0 | La medie | 50.0% |
| +1 | Peste medie | 84.1% |
| +2 | Cu mult peste medie | 97.7% |
| +3 | Extrem de peste medie | 99.9% |
Regula 68-95-99.7
Într-o distribuție normală:
- 68% din date se încadrează în ±1 abatere standard
- 95% cu ±2 abateri standard
- 99,7% cu ±3 abateri standard
Convertirea scorului Z în percentilă
După ce aveți un scor z, căutați tabelul normal standard (tabelul Z) sau utilizați:
Percentile = Φ(z) × 100
Unde Φ este funcția de distribuție normală cumulată.
Exemplu: z = 1,5 → Φ(1,5) = 0,9332 → 93,3 percentila
Aplicații ale Z-Scores
Finanţa:
- Altman Z-Score prezice riscul de faliment
- Folosit în managementul riscului pentru a identifica valori aberante
Sănătate:
- IMC pentru scorurile z de vârstă pentru copii
- Scorurile T pentru densitatea osoasă (DXA) sunt o formă de scor z
Control de calitate:
- Six Sigma folosește scorurile z pentru a măsura capacitatea procesului
- Un proces „6-sigma” are un scor z de 6 (3,4 defecte per milion)
Scorurile testelor standardizate:
- Scoruri IQ: medie 100, SD 15 (un scor z de +2 → IQ 130)
- Scoruri SAT: medie 1000, SD 200 (scalat de la scorurile z)
Compararea scorurilor la diferite teste
Exemplu: Alice a obținut 80 la Testul A (media 70, SD 10). Bob a obținut 55 la Testul B (media 40, SD 8).
Alice's z = (80 − 70) ÷ 10 = 1.0
Bob's z = (55 − 40) ÷ 8 = 1.875
În ciuda scorului brut mai scăzut, Bob a avut performanțe mai bune față de colegii săi.