O ecuație pătratică are forma ax² + bx + c = 0. Există patru metode pentru a le rezolva — știind pe care să folosiți și când face algebra mult mai rapidă.
Formular standard
Fiecare ecuație pătratică poate fi scrisă astfel:
ax² + bx + c = 0
Unde a ≠ 0 (dacă a = 0, este o ecuație liniară).
Exemple:
- x² − 5x + 6 = 0 (a=1, b=−5, c=6)
- 2x² + 3x − 2 = 0 (a=2, b=3, c=−2)
- x² − 9 = 0 (a=1, b=0, c=−9)
Metoda 1: Factorizarea
Funcționează cel mai bine atunci când ecuația factorizează clar în numere întregi. Cea mai rapidă metodă atunci când este cazul.
Pași:
- Scrieți în formă standard
- Găsiți două numere care se înmulțesc la (a × c) și se adună la b
- Împărțiți termenul mijlociu și factori prin grupare
- Setați fiecare factor egal cu zero
Exemplu: x² − 5x + 6 = 0
- Aveți nevoie de două numere: înmulțiți la 6, adăugați la −5 → −2 și −3
- Factorul: (x − 2)(x − 3) = 0
- Soluții: x = 2 sau x = 3
Exemplu: 2x² + 5x + 3 = 0
- a × c = 6, necesită factori care se adună la 5 → 2 și 3
- Rescrie: 2x² + 2x + 3x + 3 = 0
- Factorul: 2x(x + 1) + 3(x + 1) = 0
- Factorul: (2x + 3)(x + 1) = 0
- Rezolvari: x = −3/2 sau x = −1
Când să utilizați: Când puteți identifica rapid factorii. Dacă nu găsiți factori în 30 de secunde, schimbați metoda.
Metoda 2: Formula cuadratică
Funcționează pentru fiecare ecuație pătratică. Utilizați acest lucru atunci când factorizarea nu este evidentă.
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)
Exemplu: 2x² + 3x − 2 = 0 (a=2, b=3, c=−2)
- Discriminant: b² − 4ac = 9 − (4 × 2 × −2) = 9 + 16 = 25
- √25 = 5
- x = (−3 ± 5) ÷ 4
- x = (−3 + 5) ÷ 4 = 0,5 sau x = (−3 − 5) ÷ 4 = −2
Discriminatorul: Câte soluții?
Expresia b² − 4ac vă spune natura soluțiilor înainte de a rezolva:
| Discriminant | Numărul de soluții | Tip |
|---|---|---|
| b² − 4ac > 0 | Două soluții reale distincte | Numerele reale |
| b² − 4ac = 0 | O soluție repetată | Rădăcini reale, egale |
| b² − 4ac < 0 | Fără soluții reale | Două rădăcini complexe/imaginare |
Exemplu: x² + 2x + 5 = 0
- Discriminant = 4 − 20 = −16 → nu există soluții reale
- Soluții complexe: x = (−2 ± √(−16)) ÷ 2 = −1 ± 2i
Metoda 3: Completarea pătratului
Transformă ecuația în (x + p)² = q forma. Esențial pentru înțelegerea formei vârfurilor și derivarea formulei pătratice.
Pași:
- Mutați constanta în partea dreaptă
- Împărțiți prin a (dacă a ≠ 1)
- Adăugați (b/2a)² pe ambele părți
- Factorizați partea stângă ca un pătrat perfect
- Luați rădăcina pătrată a ambelor laturi
Exemplu: x² + 6x + 5 = 0
- x² + 6x = −5
- Adăugați (6/2)² = 9 pe ambele părți: x² + 6x + 9 = 4
- (x + 3)² = 4
- x + 3 = ±2
- x = −1 sau x = −5
Metoda 4: Reprezentare grafică
Soluțiile (rădăcinile) sunt interceptele x ale parabolei y = ax² + bx + c.
- Două intercepte x → două soluții reale
- O intersecție cu x (vârful pe axa x) → o soluție repetată
- Fără interceptări x → fără soluții reale (rădăcini complexe)
Când să utilizați: Pentru înțelegere vizuală sau când utilizați un calculator grafic. Nu este practic pentru răspunsuri exacte.
Alegerea metodei potrivite
| Situaţie | Cea mai bună metodă |
|---|---|
| Coeficienți întregi, par factorizabili | Factorizarea mai întâi |
| Orice pătratică, are nevoie de răspuns exact | Formula cuadratică |
| Înțelegerea vârfului/minimului/maximului | Completarea pătratului |
| Înțelegerea vizuală sau aproximarea | Grafic |
| b² − 4ac < 0 | Formula pătratică (da rădăcini complexe) |
Referință rapidă: modele comune
Diferența pătratelor: x² − k² = (x + k)(x − k) = 0 → x = ±k
Trinom pătrat perfect: x² + 2kx + k² = (x + k)² = 0 → x = −k (repetat)
Fără termen mediu: ax² + c = 0 → x = ±√(−c/a) (real doar dacă c și a au semne opuse)
Suma și produsul rădăcinilor
Pentru ax² + bx + c = 0 cu rădăcinile r₁ și r₂:
r₁ + r₂ = −b/a
r₁ × r₂ = c/a
Exemplu de verificare: x² − 5x + 6 = 0, rădăcinile 2 și 3:
- Suma: 2 + 3 = 5 = −(−5)/1 ✓
- Produs: 2 × 3 = 6 = 6/1 ✓
Utilizați soluția noastră de ecuații cubice pentru ecuații de gradul 3 sau aplicați formula pătratică de mai sus pentru orice pătratică standard.