Что такое Black-Scholes Option Pricing?
▾
Модель Блэка-Шоулза рассчитывает справедливую цену опциона европейского типа — контракта, дающего вам право, но не обязательство купить (колл) или продать (пут) акции по фиксированной цене на определенную дату в будущем. До 1973 года опционы оценивались на основе интуиции и переговоров. Фишер Блэк и Майрон Шоулз изменили все с помощью одного уравнения, которое рассматривало цену опциона как математическую достоверность при наличии пяти наблюдаемых входных данных. Наряду с усовершенствованиями Роберта Мертона, эта работа принесла Шоулзу и Мертону Нобелевскую премию по экономике 1997 года и породила современный рынок деривативов стоимостью в сотни триллионов долларов. Модель предполагает, что цена акций следует случайному блужданию с постоянной волатильностью, что дивиденды отсутствуют и что вы можете торговать непрерывно без транзакционных издержек. На практике трейдеры используют его в качестве ориентира — они вводят текущие рыночные цены для обратного расчета «подразумеваемой волатильности», консенсусного прогноза рынка о том, насколько будет двигаться акция. Каждый трейдер опционов следит за подразумеваемой волатильностью, потому что она говорит вам, являются ли опционы дешевыми или дорогими по сравнению с историей. Если подразумеваемая волатильность высока, опционы стоят дороже; если низкие, они стоят меньше. Модель имеет известные ограничения — она недооценивает вероятность экстремальных движений рынка («толстые хвосты») и не работает для опционов американского типа, которые могут быть исполнены раньше, — но она остается универсальной отправной точкой для ценообразования всех опционов и управления рисками.
Calkulon makes complex calculations simple — built for students and everyday problem-solvers.
Формула
▾
Цена вызова = S·N(d₁) − K·e^(-rT)·N(d₂)
Цена опциона = K·e^(-rT)·N(-d₂) − S·N(-d₁)
d₁ = [ln(S/K) + (r + σ²/2)·T] / (σ·√T)
d₂ = d₁ - σ·√T
N(x) = стандартная функция нормального кумулятивного распределенияОписание переменных
▾
| Символ | Имя | Единица | Описание |
|---|---|---|---|
| S | Текущая цена акций | currency | Текущее значение цены акций, которое служит критическим входным параметром в расчете Блэка-Шоулза и напрямую влияет на величину и точность вычисленного выходного результата. |
| K | Страйк-цена | currency | Значение страйк-цены, которое служит критическим входным параметром в расчете Блэка-Шоулза и напрямую влияет на величину и точность вычисленного выходного результата. |
| r | Безрисковая ставка | % per year | Значение безрисковой ставки, которое служит критическим входным параметром в расчете Блэка-Шоулза и напрямую влияет на величину и точность вычисленного выходного результата. |
| T | Время истечения срока действия | years | Время, оставшееся до истечения срока действия опциона, выраженное в годах (например, 90 дней = 0,247 года). |
| σ | Волатильность | % per year | Годовое стандартное отклонение логарифмической доходности акций; критический и единственный ненаблюдаемый вход модели |
Как Black-Scholes Option Pricing
▾
- 1Соберите пять исходных данных: текущую цену акции (S), цену исполнения (K), безрисковую ставку (r), время до истечения срока действия в годах (T) и ожидаемую волатильность (σ).
- 2Вычислите d₁: он показывает, насколько опцион находится в деньгах, с поправкой на время и волатильность.
- 3Рассчитайте d₂ = d₁ − σ√T: это d₁, скорректированное в сторону понижения с учетом неопределенности траектории акции.
- 4Найдите N(d₁) и N(d₂) в стандартном нормальном распределении — они представляют собой вероятности истечения срока действия опциона «в деньгах».
- 5Для колла: умножьте цену акции на N(d₁), затем вычтите дисконтированную цену исполнения, умноженную на N(d₂).
- 6Для пут-опционов: используйте паритет пут-колл или формулу прямого пут-опциона. Put = Call − S + K·e^(−rT).
- 7Сравните цену модели с рыночной ценой; если они различаются, то разница объясняется другим предположением о волатильности — подразумеваемая волатильность является реальным сигналом рынка.
Решённые примеры
▾
Чаще всего торгуются опционы «при деньгах» (S=K); их цена наиболее чувствительна к изменениям волатильности.
Поскольку цена акции точно соответствует цене исполнения, опцион не имеет внутренней стоимости — все 10,45 доллара — это временная стоимость. Примерно половина премии приходится на потенциальный рост акций выше 100 долларов, а компонент процентной ставки (временная стоимость денег) обеспечивает небольшую скидку на забастовку.
Высокая волатильность резко увеличивает цены опционов «вне денег» — у акций есть 6 месяцев, чтобы вырасти на 25%.
Несмотря на то, что опцион находится вне денег на 20%, он имеет значительную ценность из-за высокой подразумеваемой волатильности (40%) и оставшегося срока действия 6 месяцев. Годовая волатильность 40% означает, что примерно ±25% движений за 6 месяцев находятся в пределах одного стандартного отклонения, что делает вероятным рост до 100 долларов.
Путы «глубоко в деньгах» имеют цену, близкую к внутренней стоимости (K-S = 30 долларов США) с небольшой временной премией.
Пут-опцион стоит почти полную внутреннюю стоимость в 30 долларов, потому что пока он в деньгах. Небольшая скидка от 30 долларов отражает безрисковые проценты, полученные за ожидание (в качестве альтернативы вы можете продать акции и инвестировать 100 долларов под 3%). Временная премия невелика, потому что нет никакой уверенности в том, истечет ли этот пут в деньгах.
Трейдеры используют обратный метод Блэка-Шоулза, чтобы извлечь прогноз волатильности рынка из цен опционов.
Когда цена модели при волатильности 20% составляет всего $5,50, а рынок торгуется на уровне $8,00, рынок подразумевает более высокую волатильность — примерно 28,5%. Эта подразумеваемая волатильность является реальным сигналом: она говорит вам, что рынок ожидает движений, превышающих средние значения. Трейдеры сравнивают подразумеваемую волатильность с исторической волатильностью, чтобы решить, являются ли опционы дешевыми или дорогими.
Практическое применение
▾
Ценообразование опционов на акции, индексы и ETF на биржах по всему миру, позволяющее практикам принимать обоснованные количественные решения на основе проверенных вычислительных методов и стандартных отраслевых подходов, что требует точного количественного анализа для поддержки обоснованных решений, стратегического распределения ресурсов и оптимизации производительности в различных организационных контекстах и профессиональных дисциплинах.
Оценка опционов на акции для сотрудников для финансовой отчетности (ASC 718 / IFRS 2), помощь аналитикам в получении точных результатов, которые поддерживают стратегическое планирование, распределение ресурсов и сравнительный анализ производительности в организациях, где точные числовые вычисления необходимы для получения надежных результатов, которые служат основой для процессов планирования, оценки и постоянного улучшения как в корпоративных, так и в индивидуальных условиях.
Извлечение подразумеваемой волатильности для построения индекса VIX и других показателей волатильности, что позволяет профессионалам систематически оценивать результаты и сравнивать сценарии с использованием надежных математических основ и устоявшихся формул, что требует систематических подходов к расчетам, которые преобразуют необработанные входные данные в практические идеи для заинтересованных сторон, которые зависят от строгости количественных показателей в своей повседневной профессиональной деятельности.
Книги опционов хеджирования с использованием дельты, гаммы и веги, рассчитанных на основе модели, поддержка процессов оценки на основе данных, где числовая точность важна для обеспечения соответствия, отчетности и целей оптимизации, что требует надежных вычислительных методов, которые дают последовательные и проверяемые результаты, подходящие для отчетности, аудита и анализа долгосрочных тенденций в профессиональной среде.
Особые случаи
▾
Дивидендные акции
Стандартная модель игнорирует дивиденды. Для акций, выплачивающих известные дивиденды, перед применением формулы вычтите приведенную стоимость ожидаемых дивидендов из текущей цены акций. Для получения непрерывной дивидендной доходности (обычной для индексных опционов) замените S на S·e^(−qT), где q — непрерывная дивидендная доходность — это расширение Мертона (1973).
Очень короткий или очень длинный срок действия
При истечении срока действия (дней) модель может давать неточные результаты, если акция находится вблизи страйка — функция вероятности становится очень чувствительной к небольшим изменениям входных данных. Для очень долгосрочных опционов (LEAPS, 2+ года) неопределенность процентных ставок и тенденции к возврату к среднему значению делают предположения о постоянной волатильности все более нереалистичными.
Бинарные и барьерные опционы
Блэк-Шоулз в своей стандартной форме не оценивает экзотические опционы, такие как барьеры (опционы, которые активируются или деактивируются при достижении ценового порога) или бинарные опционы (фиксированный выигрыш при выполнении условия). Они требуют модифицированных формул или численных методов, хотя при их выводе появляются строительные блоки Блэка-Шоулза.
Приблизительные цены опциона колл — S=100 долларов США, r=4%, T=0,5 года.
▾
| Удар (К) | σ=15% | σ=25% | σ=35% | σ=50% |
|---|---|---|---|---|
| 80 долларов США (глубокий ITM) | 21,50 доллара США | $22,60 | $24,10 | $26,80 |
| 95 долларов США (небольшая ITM) | $7,80 | $9,90 | $12,10 | $15,30 |
| 100 долларов США (банкомат) | 4,30 доллара США | $7,10 | $9,80 | 13,50 долларов США |
| 105 долларов США (небольшой OTM) | 2,00 доллара США | 4,90 доллара США | $7,60 | $11,40 |
| 120 долларов США (глубокий OTM) | 0,10 доллара США | 1,20 доллара США | 3,20 доллара США | $7,00 |
Часто задаваемые вопросы
▾
Что такое подразумеваемая волатильность и почему она имеет значение?
Подразумеваемая волатильность (IV) — это значение волатильности, которое при включении в формулу Блэка-Шоулза дает текущую рыночную цену опциона. Он представляет собой консенсус-прогноз рынка относительно будущего движения цен. Когда IV высокий, опционы дорогие — рынок опасается больших движений. Когда IV низкий, опционы дешевы. Трейдеры сравнивают текущий IV с исторической волатильностью, чтобы найти переоцененные или недооцененные варианты. Индекс VIX, часто называемый «индикатором страха», представляет собой подразумеваемую волатильность опционов S&P 500.
Почему Блэк-Шоулз не может точно оценить американские опционы?
Американские опционы могут быть исполнены в любое время до истечения срока их действия, что создает премию за раннее исполнение, которую Блэк-Шоулз не может получить с помощью своей формулы закрытой формы. Для американских акций колл, не приносящих дивидендов, раннее исполнение никогда не является оптимальным (вам лучше продать опцион), поэтому цена колл Блэка-Шоулза является точной. Для американских опционов «пут» и «колл» по акциям, приносящим дивиденды, практики используют биномиальные деревья (модель Кокса-Росса-Рубинштейна) или численные методы, такие как схемы конечных разностей.
Что такое улыбка волатильности и почему она возникает?
Если бы Блэк-Шоулз был совершенно прав, подразумеваемая волатильность была бы постоянной для всех цен исполнения. На практике пут-опционы «вне денег» (страхование от краха) торгуются с более высокой подразумеваемой волатильностью, чем опционы «при деньгах», а колл-опционы «вне денег» иногда также показывают повышенную IV. Эта модель, называемая улыбкой или перекосом волатильности, отражает страх участников рынка перед хвостовыми событиями, которые Блэк-Шоулз недооценивает. Это стало заметным после краха фондового рынка 1987 года.
Что дельта говорит мне об опционе?
Дельта (∂V/∂S) показывает, насколько изменится цена опциона при изменении цены акции на 1 доллар. Дельта 0,60 означает, что цена опциона увеличивается на 0,60 доллара, когда цена акции поднимается на 1 доллар. Дельта также приблизительно соответствует вероятности истечения срока действия опциона в деньгах: дельта-колл с коэффициентом 0,60 имеет примерно 60%-ную вероятность истечения срока в деньгах. Трейдеры используют дельту для хеджирования: чтобы быть «дельта-нейтральными», вы держите акции пропорционально дельте опциона, чтобы компенсировать направленное воздействие.
Как время затухания (тета) влияет на стоимость опциона?
Опционы теряют ценность по мере приближения срока их действия — это разрушение называется временным распадом или тета. При прочих равных условиях опцион теряет ценность каждый день просто с течением времени. Опционы «при деньгах» имеют самый высокий временной затухание в абсолютном выражении; Опционы «глубоко в деньгах» или «далеко вне денег» имеют более низкую тету. Вот почему покупка опционов требует, чтобы акции двигались достаточно, чтобы компенсировать продолжающееся снижение временной стоимости — покупатели опционов борются с временным распадом каждый день, когда удерживают позицию.
Можно ли использовать метод Блэка-Шоулза для опционов на криптовалюту?
Да, с существенными оговорками. Блэк-Шоулз может оценить опционы на криптовалюту, если вы введете соответствующую подразумеваемую волатильность. Биткойн-опционы торгуются на Deribit и CME, при этом IV часто находится в диапазоне 50–150% — намного выше, чем на фондовых рынках. Предположение о постоянной волатильности модели еще больше нарушается для криптовалют, где волатильность сама по себе очень волатильна (часто называемая «объем из волатильности»). Более сложные модели, такие как SABR или Heston, которые допускают стохастическую волатильность, более подходят для точного ценообразования криптовалютных опционов.
Кем был Фишер Блэк и почему он не лауреат Нобелевской премии?
Фишер Блэк был прикладным математиком и финансовым экономистом, который разработал модель совместно с Майроном Скоулзом. Он работал в Goldman Sachs, применяя эту модель на практике. Нобелевская премия по экономике была присуждена в 1997 году Скоулзу и Роберту Мертону за работу над методологией ценообразования опционов. Фишер Блэк умер от рака горла в августе 1995 года — за два года до награждения. Нобелевская премия не присуждается посмертно, поэтому Блэк был явно признан, но не смог получить премию.
Распространённые ошибки
▾
- !Непосредственное использование исторической волатильности — модель должна использовать подразумеваемую волатильность или прогнозную оценку, а не прошлое. Использование недавней исторической волатильности может занизить цену опционов перед волатильными событиями, такими как прибыль.
- !Подстановка времени в днях без конвертации в годы — T должно быть в годах (дни/365 или дни/252 для торговых дней).
- !Игнорирование дивидендов по акциям, приносящим дивиденды — отсутствие корректировки на дивиденды значительно переоценивает опционы «колл» и недооценивает «пут» плательщиков дивидендов вблизи экс-даты.
- !Если рассматривать выпуск модели как «правильную» рыночную цену — модель является эталоном; реальные опционы торгуются по ценам, определяемым спросом и предложением и ликвидностью.
Совет профессионала
При сравнении опционов с разными сроками исполнения и сроками погашения сравнивайте подразумеваемую волатильность, а не цены опционов. Опцион может выглядеть дешевым в долларовом выражении, но дорогим с точки зрения волатильности. Всегда проводите нормализацию, глядя на поверхность IV — трехмерную карту подразумеваемой волатильности по срокам исполнения и срокам погашения — чтобы определить возможности относительной стоимости.
Знаете ли вы?
Модель Блэка-Шоулза позволила Чикагской бирже опционов (CBOE) открыться в апреле 1973 года — буквально в том же месяце, когда была опубликована статья. За десять лет объем торговли опционами резко вырос с тысяч до миллионов контрактов в день. Формула оказалась настолько эффективной, что вскоре после публикации компания Texas Instruments выпустила специальный карманный калькулятор, предварительно запрограммированный с помощью Блэка-Шоулза.
Regional Guides
▾
🇺🇸 US▾
🇬🇧 UK▾
🇪🇺 EU▾
Источники
Ratings & comments
Получайте еженедельные советы по математике
Присоединяйтесь к подписчикам 12 000+, которые каждую неделю получают советы по калькулятору.