Что такое Yield to Maturity Calculator?
▾
Доходность к погашению (YTM) — это общий годовой доход, который получил бы инвестор, если бы он купил облигацию по текущей рыночной цене и держал ее до погашения облигации, при условии, что все купонные выплаты будут реинвестированы с той же доходностью. YTM — это эквивалент внутренней нормы доходности (IRR) облигаций — это ставка дисконтирования, которая делает текущую стоимость всех будущих денежных потоков (купоны плюс погашение основной суммы долга) равной текущей рыночной цене облигации. YTM является наиболее полным показателем доходности облигаций, поскольку он учитывает три источника дохода: (1) периодически получаемый купонный доход, (2) любой прирост или убыток капитала между ценой покупки и номинальной стоимостью, полученной при погашении (например, если вы покупаете облигацию по цене 950 долларов США, но получаете 1000 долларов США при погашении, разница в 50 долларов добавляется к доходности) и (3) доход от реинвестирования, полученный путем инвестирования полученных купонов по ставке доходности к погашению. Поскольку YTM предполагает реинвестирование купонов с той же доходностью, это гипотетическая мера — фактическая реализованная доходность будет отличаться, если ставки реинвестирования изменятся в течение срока действия облигации. YTM всегда котируется в годовом исчислении, даже если по облигациям выплачиваются купоны чаще. Для облигаций с полугодовым купоном (согласно соглашению США) YTM указывается как доходность, эквивалентная облигации (BEY), то есть удвоенная полугодовая периодическая ставка. Это позволяет напрямую сравнивать облигации с разной частотой купонов. Зависимость между ценой и доходностью к доходности обратная: когда рыночная цена облигации превышает ее номинальную стоимость (облигация с премией), ее доходность к доходности оказывается ниже ставки купона; когда цена падает ниже номинальной стоимости (дисконтная облигация), доходность к доходности превышает ставку купона. По номиналу доходность к погашению точно равна ставке купона. Эта обратная зависимость является основополагающим принципом инвестирования с фиксированным доходом и объясняет, почему цены на облигации падают, когда процентные ставки растут, и наоборот. YTM служит основой для: оценки и сравнения облигаций, построения кривой доходности, анализа кредитного спреда (YTM минус казначейский YTM), расчета дюрации и оценки стоимости долга в корпоративных финансах (используется в расчетах WACC). Понимание YTM важно для всех участников рынков с фиксированным доходом.
Calkulon makes complex calculations simple — built for students and everyday problem-solvers.
Формула
▾
P = Σ [C / (1 + YTM/m)^t] + F / (1 + YTM/m)^n
(Решается итеративно для YTM; аппроксимация: YTM ≈ [C + (F−P)/n] / [(F+P)/2])Описание переменных
▾
| Символ | Имя | Единица | Описание |
|---|---|---|---|
| YTM | Доходность до погашения | % per year | Годовая ставка дисконтирования, которая приравнивает текущую стоимость всех будущих денежных потоков к текущей рыночной цене облигации. |
| P | Текущая цена облигаций | currency | Рыночная цена облигации сегодня (сколько платит инвестор при покупке облигации). |
| C | Оплата купона | currency per period | Периодическая выплата процентов: C = номинальная стоимость × годовая ставка купона / частота купона. |
| F | Номинальная стоимость (номинальная стоимость) | currency | Основная сумма, выплачиваемая при наступлении срока погашения, обычно составляет 1000 долларов США для казначейских и корпоративных облигаций США. |
| n | Количество периодов | count | Общее количество купонных периодов, оставшихся до погашения (например, 20 периодов для 10-летней полугодовой облигации). |
| t | Номер периода | count | Индекс времени каждой купонной выплаты от 1 до n; используется в формуле суммирования текущей стоимости. |
Как Yield to Maturity Calculator
▾
- 1Определите ключевые параметры облигации: текущую рыночную цену (P), номинальную стоимость (F), годовую купонную ставку, частоту купона (m) и годы до погашения.
- 2Рассчитайте периодическую купонную выплату: C = F × (Годовая купонная ставка / м). Для облигации стоимостью 1000 долларов США с годовым купоном 5%, выплачиваемым раз в полгода: C = 1000 долларов США × 0,05/2 = 25 долларов США за период.
- 3Определите общее количество купонных периодов: n = количество лет до погашения × m. 10-летняя полугодовая облигация имеет n = 20 периодов.
- 4Составьте уравнение YTM: P = Σ [C / (1+r)^t] для t=1 до n, плюс F/(1+r)^n, где r = YTM/m (периодическая доходность). Это уравнение не имеет решения в замкнутой форме и должно решаться численно.
- 5Используйте итерационный метод (Ньютона-Рафсона, деление пополам или финансовый калькулятор), чтобы найти значение r, удовлетворяющее уравнению. Начните с первоначального предположения (например, ставки купона), вычислите подразумеваемую цену, сравните ее с фактической ценой и соответствующим образом скорректируйте r до достижения сходимости.
- 6Преобразуйте периодическую доходность в годовую доходность к доходу: YTM = r × m (условный эквивалент доходности облигаций для рынка США). Для месячных периодов (m=12) YTM = r × 12.
- 7Интерпретируйте доходность к доходности: сравните ее с преобладающей доходностью казначейских облигаций (для расчета кредитного спреда), со ставкой купона (торгуется ли облигация с премией, скидкой или по номинальной стоимости?) и с доходностью сопоставимых облигаций (для анализа относительной стоимости).
Решённые примеры
▾
Когда цена равна номиналу, YTM всегда равна ставке купона.
Когда облигация торгуется по ее номинальной стоимости (номиналу), при погашении нет прироста или убытка капитала — только купонный доход. Таким образом, доходность к погашению в точности равна ставке купона 4,50%. Это математическое тождество: вставка P = F в формулу YTM всегда дает YTM = ставку купона. Инвестор, покупающий эти 10-летние казначейские облигации по номинальной стоимости, получает годовой доход в размере 4,50% только за счет купонного дохода, предполагая реинвестирование по ставке 4,50%. Эта связь является простейшим случаем и обеспечивает интуитивно понятную проверку любого расчета доходности к погашению.
Дисконтная облигация: доходность к доходности превышает ставку купона из-за прироста капитала при погашении.
Эта корпоративная облигация торгуется по цене $920, что ниже ее номинальной стоимости в $1000 (дисконтная облигация). Инвестор получает полугодовые купоны в размере 25 долларов США плюс прирост капитала в размере 80 долларов США при погашении (1000–920 долларов США). И купонный доход, и прирост капитала способствуют доходности к доходности, поднимая ее выше купонной ставки в 5,0%. YTM в размере 6,22% представляет собой общую годовую доходность, объединяющую оба источника. Дисконт, вероятно, отражает либо рост рыночных процентных ставок с момента выпуска облигаций, либо ухудшение кредитного качества эмитента, либо и то, и другое. Кредитный спред по сравнению с сопоставимым казначейством составляет примерно 6,22% − 4,50% = 172 базисных пункта.
Облигация с премией: доходность ниже купонной ставки из-за потери капитала при погашении.
Муниципальные облигации, торгуемые по цене 1080 долларов США, при погашении понесут убытки в размере 80 долларов США (1080–1000 долларов США). Этот убыток капитала частично компенсирует более высокий купон в размере 6%, в результате чего доходность к погашению составляет 4,28% — ниже ставки купона. Облигации с премией торгуются выше номинала, когда преобладающая рыночная доходность упала с момента выпуска облигации или когда облигация несет премию за кредитное качество. Для муниципальных облигаций налоговый эквивалент YTM выше номинального YTM: для инвестора с налоговой ставкой 32% доходность в необлагаемом налоге 4,28% ≈ 6,29% в необлагаемом налогом эквиваленте, что делает эту облигацию конкурентоспособной по сравнению с более высокодоходными налогооблагаемыми облигациями.
Вся прибыль поступает от прироста капитала — риска реинвестирования нет.
Облигация с нулевым купоном не выплачивает купонов — весь доход поступает от разницы между ценой покупки (620,92 доллара США) и номинальной стоимостью (1000 долларов США), полученной при погашении. YTM в размере 4,77% рассчитывается напрямую: (1000/620,92)^(1/10) − 1 = 4,77% годовых. Облигации с нулевым купоном не имеют риска реинвестирования (это ключевое преимущество), поскольку нет промежуточных денежных потоков для реинвестирования. Доходность к погашению по облигациям с нулевым купоном представляет собой гарантированный годовой доход, если они удерживаются до погашения, независимо от того, как изменятся ставки реинвестирования в течение периода владения. Это делает их идеальными для удовлетворения конкретных будущих потребностей в денежных потоках.
Практическое применение
▾
Оценка облигаций и выбор инвестиций: сравнение доходности к погашению по облигациям для выявления возможностей относительной стоимости, где точный анализ доходности к погашению с помощью Yield To Maturity поддерживает принятие обоснованных решений и строгость количественных показателей в профессиональных рабочих процессах.
Корпоративные финансы: оценка стоимости долга с использованием доходности к погашению обращающихся облигаций в качестве входных данных для WACC, где точный анализ доходности к погашению с помощью Yield To Maturity поддерживает принятие обоснованных решений и строгость количественных показателей в профессиональных рабочих процессах.
Построение кривой доходности: загрузка бескупонной доходности из купонных облигаций с погашением к погашению для ценообразования деривативов, где точный анализ доходности к погашению с помощью Yield To Maturity поддерживает принятие обоснованных решений и количественную строгость в профессиональных рабочих процессах.
Кредитный анализ: расчет кредитных спредов по казначейским облигациям для оценки относительной компенсации кредитного риска, где точный анализ доходности к погашению с помощью доходности к погашению поддерживает принятие обоснованных решений и количественную строгость в профессиональных рабочих процессах.
Управление портфелем с фиксированной доходностью: мониторинг доходности портфеля и сравнение с эталонной доходностью
Особые случаи
▾
На практике этот крайний случай требует тщательного рассмотрения, поскольку стандартные предположения могут не выполняться. Столкнувшись с этим сценарием при расчетах калькулятора доходности к погашению, специалисты-практики должны проверить граничные условия, проверить наличие рисков деления на ноль и оценить, остаются ли предположения модели действительными в этих экстремальных условиях.
На практике этот крайний случай требует тщательного рассмотрения, поскольку стандартные предположения могут не выполняться. Столкнувшись с этим сценарием при расчетах калькулятора доходности к погашению, специалисты-практики должны проверить граничные условия, проверить наличие рисков деления на ноль и оценить, остаются ли предположения модели действительными в этих экстремальных условиях.
На практике этот крайний случай требует тщательного рассмотрения, поскольку стандартные предположения могут не выполняться. Столкнувшись с этим сценарием при расчетах калькулятора доходности к погашению, специалисты-практики должны проверить граничные условия, проверить наличие рисков деления на ноль и оценить, остаются ли предположения модели действительными в этих экстремальных условиях.
Ориентировочные точки кривой доходности казначейских облигаций США (приблизительные исторические средние значения)
▾
| Зрелость | Средняя доходность за период до 2008 г. | Минимальный уровень после 2008 г. (2020–2021 гг.) | 2023–2024 Уровень |
|---|---|---|---|
| 3-месячный казначейский вексель | 4,5 – 5,5% | 0,05 – 0,10% | 5,0 – 5,5% |
| 2-летние казначейские обязательства | 4,5 – 5,5% | 0,10 – 0,25% | 4,5 – 5,0% |
| 5-летние казначейские обязательства | 4,5 – 5,5% | 0,30 – 0,80% | 4,2 – 4,7% |
| 10-летние казначейские обязательства | 4,5 – 5,5% | 0,50 – 1,50% | 4,0 – 4,7% |
| 30-летнее казначейство | 5,0 – 6,0% | 1,20 – 2,30% | 4,2 – 5,0% |
| Корпус инвестиционного уровня (10 лет) | 5,5 – 7,0% | 2,0 – 3,5% | 5,5 – 6,5% |
| Высокопроизводительный корпус (5 лет) | 8,0 – 12,0% | 5,0 – 7,0% | 8,0 – 10,0% |
Часто задаваемые вопросы
▾
В чем разница между YTM, текущей доходностью и купонной доходностью?
Купонный доход (или номинальный доход) — это просто годовой купон, разделенный на номинальную стоимость — он не меняется независимо от рыночной цены облигации. Текущая доходность представляет собой годовой купон, разделенный на текущую рыночную цену. Она отражает доход от текущей суммы инвестиций, но игнорирует прирост/убытки капитала при погашении и доход от реинвестирования. YTM является наиболее полным показателем, включающим купонный доход, прирост или убыток капитала при погашении, а также временную стоимость денег посредством дисконтирования текущей стоимости. Для принятия инвестиционных решений YTM, как правило, является наиболее подходящим показателем доходности, поскольку он представляет собой общий годовой доход, если облигация удерживается до погашения.
Почему YTM предполагает реинвестирование купона по той же ставке?
YTM рассчитывается как внутренняя норма доходности — единая ставка, которая приравнивает все денежные потоки к текущей цене. Математически этот расчет предполагает, что каждый полученный купон немедленно реинвестируется по той же ставке (YTM) на оставшийся срок действия облигации. В действительности ставки реинвестирования колеблются: если ставки падают после покупки, купоны реинвестируются по более низким ставкам (снижая общий доход ниже YTM); если ставки растут, купоны приносят больше (увеличивая общий доход выше YTM). Эта неопределенность ставки реинвестирования называется риском реинвестирования и является основной причиной того, что реализованная доходность может отличаться от доходности к погашению, рассчитанной при покупке. Облигации с нулевым купоном — единственные облигации, не имеющие риска реинвестирования.
Как доходность к погашению связана с ценой облигации и почему они движутся в противоположных направлениях?
Цена облигации и доходность к погашению находятся в обратной зависимости, поскольку доходность к погашению — это ставка дисконтирования, применяемая к будущим денежным потокам. Когда YTM повышается (отражая более высокие рыночные процентные ставки или повышенный воспринимаемый кредитный риск), текущая стоимость фиксированных будущих денежных потоков уменьшается, поэтому цена облигации падает. И наоборот, когда YTM падает, будущие денежные потоки дисконтируются по более низкой ставке, увеличивая их текущую стоимость и повышая цену облигации. Это фундаментальный механизм: существующие облигации с фиксированным купоном становятся менее ценными, когда новые облигации предлагают более высокую доходность, и более ценными, когда новые облигации предлагают более низкую доходность. Величина этой ценовой чувствительности измеряется длительностью.
Что такое доходность по требованию (YTC) и когда она имеет значение?
Доходность до погашения (YTC) — это доход, полученный, если облигация отзывается (досрочно погашается эмитентом) в первую дату отзыва, а не удерживается до погашения. Он рассчитывается аналогично YTM, но с использованием цены отзыва (обычно на уровне номинала или немного выше него) в качестве конечного денежного потока и времени до первой даты отзыва в качестве n. YTC имеет значение для облигаций с правом отзыва: когда рыночная доходность значительно ниже купонной ставки, эмитент, скорее всего, отзовет облигацию для рефинансирования по более низкой цене, и YTC станет лучшей оценкой реализованной доходности инвестора, чем YTM. При оценке облигаций с правом отзыва инвесторам следует учитывать доходность до наихудшего показателя (YTW) — минимум YTM, YTC и доходность к любой другой дате отзыва/пути — как наиболее консервативную оценку доходности.
Каково значение кривой YTM (кривая доходности)?
Кривая доходности отображает доходность к погашению сопоставимых облигаций (одинакового кредитного качества, обычно государственных облигаций) с разными сроками погашения, от 1 месяца до 30+ лет. Обычная кривая доходности имеет восходящий наклон (более длительные сроки погашения имеют более высокую доходность к погашению), отражая премию за риск, необходимую для блокировки капитала на более длительные периоды. Инвертированная кривая доходности (краткосрочные доходности к погашению превышают долгосрочные) исторически была надежным предсказателем рецессии — это произошло в 2006, 2019 и 2022 годах. Плоская кривая доходности предлагает небольшую дополнительную доходность при продлении срока погашения. Кривая доходности является основой ценообразования с фиксированным доходом, анализа денежно-кредитной политики и экономического прогнозирования.
Как налоги влияют на эффективную доходность к доходности для инвестора?
Налоговый режим может существенно изменить эффективную доходность к выплате после уплаты налогов. В США купонный доход по корпоративным и казначейским облигациям облагается налогом как обычный доход, тогда как прирост капитала (от дисконтных облигаций) может облагаться налогом по более низким ставкам на прирост капитала. Проценты по муниципальным облигациям обычно освобождаются от федерального подоходного налога и часто от налогов штата, что делает подходящим сравнением налоговый эквивалент YTM = Муниципальный доход к доходу / (1 - налоговая ставка). Облигации с дисконтом первоначального выпуска (OID) еще больше усложняют налогообложение: дисконт увеличивается ежегодно и каждый год облагается налогом как обычный доход даже без получения денежных средств. Инвесторы с высокими налоговыми категориями всегда должны рассчитывать доходность к погашению после уплаты налогов при сравнении облигаций с различными налоговыми режимами.
Может ли YTM быть отрицательным и что это значит?
Да. Отрицательная доходность к погашению возникает, когда инвесторы платят за облигацию больше, чем сумма всех будущих денежных потоков, которые они получат. Это широко происходило на рынках государственных облигаций Европы и Японии в период с 2015 по 2022 год, когда программы покупки облигаций центральными банками привели к настолько высокому росту цен, что доходность стала отрицательной. Инвестор, соглашающийся на отрицательную доходность к доходности, по сути, платит за безопасность, ликвидность или нормативные преимущества владения государственными облигациями — они гарантированно потеряют деньги в номинальном выражении, если будут держать их до погашения. Отрицательная доходность также может отражать дефляционные ожидания: если цены падают, отрицательная номинальная доходность все равно может представлять собой положительную реальную доходность. В США доходность краткосрочных казначейских векселей ненадолго стала отрицательной во время рыночной паники 2008 и 2020 годов.
Распространённые ошибки
▾
- !Использование купонной ставки облигации в качестве показателя доходности к погашению — это верно только в том случае, если облигация торгуется точно по номиналу.
- !Забываем учитывать соглашение о полугодовых купонах в США: ставку годового купона необходимо уменьшить вдвое, а количество периодов удвоить для полугодовых облигаций.
- !Использование чистой цены вместо грязной цены при расчете доходности к доходности для облигаций, приобретенных между датами купона, — это завышает доходность к доходности.
- !Игнорируя предположение YTM о реинвестировании: YTM — это обещанная доходность, а не гарантированный реализованный доход, поскольку ставки реинвестирования купонов меняются со временем.
- !Сравнение доходности к погашению облигаций с разным кредитным качеством, частотой купона или налоговым режимом без соответствующих корректировок.
Совет профессионала
При сравнении облигаций для принятия инвестиционных решений всегда рассчитывайте кредитный спред (YTM минус казначейские облигации с сопоставимым сроком погашения) наряду с YTM. Высокая доходность к доходности может просто отражать высокий риск дефолта — кредитный спред показывает, какую дополнительную доходность вы зарабатываете, принимая на себя этот дополнительный риск.
Знаете ли вы?
Математическая невозможность решения YTM в закрытой форме (требуется решение полинома степени n, который не имеет аналитического решения для n > 4 по теореме Абеля-Руффини) означает, что каждое вычисление YTM, которое вы видите — в Excel, в Bloomberg, в финансовом калькуляторе — использует итерационный численный алгоритм. Это было верно с тех пор, как расчеты урожайности были впервые стандартизированы в 19 веке.
Regional Guides
▾
🇺🇸 US▾
🇬🇧 UK▾
🇪🇺 EU▾
Источники
Получайте еженедельные советы по математике
Присоединяйтесь к подписчикам 12 000+, которые каждую неделю получают советы по калькулятору.