Ключевые термины

Прежде чем рассматривать формулы, познакомимся с основными понятиями:

Термин Символ Определение
Радиус r Расстояние от центра до края
Диаметр d Расстояние через круг (d = 2r)
Длина окружности C Расстояние вокруг круга
Площадь A Пространство внутри круга
Пи π Математическая константа ≈ 3,14159

Вычисление длины окружности

Длина окружности — это полное расстояние вокруг круга.

Формула: $$C = 2\pi r \quad ext{или} \quad C = \pi d$$

Пример: Радиус = 5 см

$$C = 2 imes 3{,}14159 imes 5 = 31{,}42 ext{ см}$$

Вычисление площади

Площадь — это пространство, которое занимает круг.

Формула: $$A = \pi r^2$$

Пример: Радиус = 5 см

$$A = 3{,}14159 imes 5^2 = 78{,}54 ext{ см}^2$$

Обратные вычисления

Если известна длина окружности или площадь:

Дано Найти Формула
Длина окружности C Радиус r = C / (2π)
Площадь A Радиус r = √(A / π)
Длина окружности C Диаметр d = C / π

Пример: Круглое поле имеет длину окружности 150 м.

  • Радиус: r = 150 / (2π) = 23,87 м
  • Площадь: A = π × 23,87² ≈ 1 790 м²

Практические примеры

Поперечное сечение трубы: Диаметр = 40 мм → r = 20 мм $$A = \pi imes 20^2 = 400\pi pprox 1{.}257 ext{ мм}^2$$

Беговая дорожка: Радиус = 40 м $$C = 2\pi imes 40 = 80\pi pprox 251{,}3 ext{ м}$$

Сравнение пицц:

  • 1 пицца 14 дюймов: A = π × 7² = 49π ≈ 153,9 in²
  • 2 пиццы 10 дюймов: A = 2 × π × 5² = 50π ≈ 157,1 in²

Две маленькие пиццы вместе чуть больше!

Секторы и дуги

Сектор — это «кусок торта» из круга.

Длина дуги: $$L = rac{ heta}{360} imes 2\pi r \quad ext{(градусы)}$$ $$L = heta r \quad ext{(радианы)}$$

Площадь сектора: $$A = rac{ heta}{360} imes \pi r^2 \quad ext{(градусы)}$$ $$A = rac{1}{2}r^2 heta \quad ext{(радианы)}$$

Пример: Сектор 45°, r = 8 см

  • Длина дуги: (45/360) × 2π × 8 ≈ 6,28 см
  • Площадь сектора: (45/360) × π × 64 ≈ 25,13 см²

Кольцо (кольцевая область)

Кольцо — это область между двумя концентрическими кругами.

$$A = \pi(R^2 - r^2)$$

Пример: Внешний радиус R = 10 м, внутренний r = 7 м $$A = \pi(100 - 49) = 51\pi pprox 160{,}2 ext{ м}^2$$

Сводка формул

Формула Выражение
Длина окружности C = 2πr = πd
Площадь A = πr²
Радиус из длины окружности r = C/(2π)
Радиус из площади r = √(A/π)
Длина дуги L = (θ/360) × 2πr
Площадь сектора A = (θ/360) × πr²
Кольцо A = π(R² − r²)

Воспользуйтесь нашим калькулятором длины окружности и площади круга для быстрых вычислений.