Теорема Пифагора — один из самых известных результатов во всей математике — достаточно простой, чтобы изложить его в одной строке, и достаточно глубокий, чтобы иметь более 370 известных доказательств. Здесь есть все, что вам нужно знать, от формулы до практического применения.
Формула
Для любого прямоугольного треугольника (треугольника с одним углом 90°):
a^2 + b^2 = c^2
Где a и b — два катета (стороны, образующие прямой угол), а c — гипотенуза (сторона, противоположная прямому углу — всегда самая длинная сторона).
Находим каждую сторону
Нахождение гипотенузы (с):
c = √(a^2 + b^2)
Нахождение ноги (а):
a = √(c^2 - b^2)
Нахождение второй ноги (б):
b = √(c^2 - a^2)
Рабочие примеры
Пример 1. В прямоугольном треугольнике катеты равны 3 см и 4 см. Найдите гипотенузу.
- c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 см
Пример 2: Лестница длиной 10 метров прислонена к стене, ее основание находится на расстоянии 4 метров от стены. Насколько высоко он достигает?
- a = √(10² – 4²) = √(100 – 16) = √84 ≈ 9,17 метра
Пифагоровы тройки
Тройка Пифагора — это набор трёх целых чисел, удовлетворяющих условию a² + b² = c². Они часто встречаются в задачах и их стоит запомнить:
| а | б | с |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 20 | 21 | 29 |
Любое число, кратное тройке, также является тройкой: (6, 8, 10), (9, 12, 15), (15, 20, 25) — все работает.
Простое доказательство
Самое элегантное доказательство использует площади. Нарисуйте большой квадрат со стороной (a + b). Внутри него расположите четыре копии прямоугольного треугольника с катетами a и b.
Четыре треугольника занимают площадь 4 × (½ab) = 2ab. Оставшееся место в большом квадрате должно быть с² (квадрат гипотенузы).
Площадь большого квадрата (a + b)² = a² + 2ab + b².
Итак: a² + 2ab + b² − 2ab = c².
Следовательно: a² + b² = c²
Реальные приложения
Строительство и столярные изделия
«Правило 3-4-5» используется каждый день на строительных площадках для проверки идеальной прямоугольности углов. Отмерьте 3 единицы вдоль одной стены, 4 единицы вдоль соседней стены, затем проверьте, чтобы диагональ составляла ровно 5 единиц. Если да, то угол равен ровно 90°.
Навигация
До появления GPS навигаторы постоянно использовали эту теорему. Если вы проедете 30 км на восток, а затем 40 км на север, ваше расстояние по прямой от начала составит √(30² + 40²) = √2500 = 50 км.
Современные системы GPS используют трехмерное расширение теоремы для расчета расстояний между координатами.
Размеры экрана
«65-дюймовый телевизор» имеет диагональ экрана 65 дюймов. Если вы знаете соотношение сторон (16:9), вы можете найти точную ширину и высоту, используя теорему. Для экрана 65 дюймов с соотношением сторон 16:9: ширина ≈ 56,7 дюйма, высота ≈ 31,9 дюйма.
Инженерия и физика
Теорема является основополагающей в проектировании конструкций (расчет несущих диагоналей), компьютерной графике (рендеринг 3D-сцен) и физике (расчет результирующих векторов — совместного воздействия двух сил под прямым углом).
Расширение 3D: формула расстояния
Теорема Пифагора естественным образом распространяется на три измерения:
d = √((x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2)
Это используется в компьютерной графике, физическом моделировании, вычислениях GPS и в любой системе, работающей с трехмерными координатами.
Вычислите теорему Пифагора прямо сейчас
Воспользуйтесь нашим бесплатным калькулятором, чтобы найти любую сторону прямоугольного треугольника по двум другим. Введите любые две стороны и мгновенно получите третью, выполняя пошаговую работу.