Период полураспада — это время, в течение которого половина вещества распадается или трансформируется. Он появляется в ядерной физике, фармакологии, химии и археологии — везде, где что-то уменьшается в геометрической прогрессии.
Формула полураспада
N(t) = N₀ × (½)^(t/t½)
Или эквивалентно:
N(t) = N₀ × e^(−λt)
Где:
- N(t) = оставшееся количество в момент времени t
- N₀ = начальное количество
- t½ = период полураспада
- λ = константа затухания = ln(2) ÷ t½ ≈ 0,693 ÷ t½
- e = число Эйлера (2,718...)
Базовый расчет периода полураспада
Сколько остаётся после n периодов полураспада?
Remaining fraction = (½)^n = 1 ÷ 2^n
| Прошедшие периоды полураспада | Оставшаяся фракция | Процент |
|---|---|---|
| 1 | 1/2 | 50% |
| 2 | 1/4 | 25% |
| 3 | 1/8 | 12.5% |
| 4 | 1/16 | 6.25% |
| 5 | 1/32 | 3.125% |
| 7 | 1/128 | 0.78% |
| 10 | 1/1024 | 0.098% |
Пример: 200 г вещества с периодом полувыведения 10 дней, через 30 дней:
- Количество периодов полураспада = 30 ÷ 10 = 3
- Остаток = 200 × (½)³ = 200 × 0,125 = 25 г
Поиск оставшейся суммы в любое время
N(t) = N₀ × (½)^(t/t½)
Пример: 500 мг вещества, период полувыведения = 8 часов. Сколько останется через 20 часов?
- N(20) = 500 × (½)^(20/8)
- N(20) = 500 × (0,5)^2,5
- N(20) = 500 × 0,1768 = 88,4 мг
Нахождение прошедшего времени по оставшейся сумме
t = t½ × log(N(t)/N₀) ÷ log(½)
Или: t = t½ × ln(N₀/N(t)) ÷ ln(2)
Пример: Начните с 1000 г, период полураспада = 5 лет. Когда останется 62,5 г?
- 62,5/1000 = 0,0625 = (½)^n → n = 4 периода полураспада
- t = 4 × 5 = 20 лет
Константа распада
λ = ln(2) ÷ t½ ≈ 0.693 ÷ t½
Константа распада λ — это вероятность в единицу времени распада ядра. Он используется в формуле экспоненциального затухания:
N(t) = N₀ × e^(−λt)
Пример: Период полураспада = 20 минут:
- λ = 0,693 ÷ 20 = 0,03466 в минуту
- Через 60 минут: N = N₀ × e^(-0,03466 × 60) = N₀ × e^(-2,079) = N₀ × 0,125.
Это подтверждает: 60 минут = 3 периода полураспада → осталось 12,5% ✓
Периоды полураспада радиоактивных изотопов
| Изотоп | Период полураспада | Использовать |
|---|---|---|
| Углерод-14 | 5730 лет | Радиоуглеродное датирование |
| Уран-238 | 4,47 миллиарда лет | Датирование геологического возраста |
| Йод-131 | 8,02 дня | Лечение рака щитовидной железы |
| Технеций-99м | 6,01 часов | Медицинская визуализация |
| Полоний-210 | 138,4 дня | — |
| Стронций-90 | 28,8 лет | Опасения по поводу ядерных осадков |
Углеродное датирование: практическое применение
Углерод-14 имеет период полураспада 5730 лет и встречается во всех живых организмах. Когда организм умирает, он перестает усваивать новый С-14, поэтому соотношение С-14 и С-12 предсказуемо снижается.
Age = t½ ÷ ln(2) × ln(N₀/N)
Пример: В образце осталось 25 % исходного C-14:
- 25% = (½)^n → n = 2 периода полураспада
- Возраст = 2 × 5730 = 11 460 лет
Углеродное датирование надежно для образцов возрастом до ~ 50 000 лет (период полураспада примерно 8–9, после чего остается так мало C-14, что измерения становятся ненадежными).
Период полураспада в фармакологии
Период полувыведения препарата определяет частоту дозирования. Через 4–5 периодов полураспада выводится примерно 94–97% препарата:
| Лекарство | Период полураспада | Частота дозирования |
|---|---|---|
| Ибупрофен | 2 часа | Каждые 4–6 часов |
| Аспирин | 15–20 минут* | Ежедневно для антиагрегантов |
| Кофеин | 5–6 часов | Эффект ~8–10 часов |
| Диазепам (валиум) | 20–100 часов | Один раз в день или реже |
*Воздействие аспирина на тромбоциты длится намного дольше, чем период его полураспада, из-за необратимого связывания.
Используйте наш калькулятор экспонент, чтобы быстро вычислить (½)^n для любого количества периодов полураспада.