Квадратное уравнение имеет форму ax² + bx + c = 0. Для его решения существует четыре метода — знание того, какой и когда использовать, делает алгебру намного быстрее.
Стандартная форма
Любое квадратное уравнение можно записать как:
ax² + bx + c = 0
Где a ≠ 0 (если a = 0, это линейное уравнение).
Примеры:
- x² − 5x + 6 = 0 (a=1, b=−5, c=6)
- 2x² + 3x − 2 = 0 (a=2, b=3, c=−2)
- x² − 9 = 0 (a=1, b=0, c=−9)
Способ 1: Факторинг
Лучше всего работает, когда уравнение четко преобразуется в целые числа. Самый быстрый метод, когда это применимо.
Шаги:
- Пишите в стандартной форме
- Найдите два числа, которые умножаются на (a × c) и добавляются к b.
- Разделите средний термин и фактор, сгруппировав их.
- Установите каждый фактор равным нулю.
Пример: x² − 5x + 6 = 0
- Нужны два числа: умножить на 6, прибавить к −5 → −2 и −3
- Коэффициент: (х - 2)(х - 3) = 0
- Решения: x = 2 или x = 3
Пример: 2x² + 5x + 3 = 0
- a × c = 6, необходимо добавить множители к 5 → 2 и 3
- Перепишите: 2x² + 2x + 3x + 3 = 0.
- Коэффициент: 2x(x + 1) + 3(x + 1) = 0
- Коэффициент: (2x + 3)(x + 1) = 0
- Решения: x = −3/2 или x = −1
Когда использовать: Когда вы можете быстро определить факторы. Если вы не найдете факторы за 30 секунд, смените метод.
Способ 2: квадратичная формула
Работает для любого квадратного уравнения. Используйте это, когда факторинг не очевиден.
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)
Пример: 2x² + 3x − 2 = 0 (a=2, b=3, c=−2)
- Дискриминант: b² − 4ac = 9 − (4 × 2 × −2) = 9 + 16 = 25.
- √25 = 5
- х = (−3 ± 5) ÷ 4
- x = (−3 + 5) ÷ 4 = 0,5 или x = (−3 − 5) ÷ 4 = −2
Дискриминант: сколько решений?
Выражение b² − 4ac сообщает вам о природе решений до того, как вы их решите:
| Дискриминант | Количество решений | Тип |
|---|---|---|
| b² − 4ac > 0 | Два разных реальных решения | Реальные числа |
| b² − 4ac = 0 | Одно повторяющееся решение | Действительные равные корни |
| b² − 4ac < 0 | Нет реальных решений | Два комплексных/мнимых корня |
Пример: x² + 2x + 5 = 0
- Дискриминант = 4 − 20 = −16 → действительных решений нет.
- Комплексные решения: x = (−2 ± √(−16)) ÷ 2 = −1 ± 2i
Способ 3: Завершение квадрата
Преобразует уравнение в форму (x + p)² = q. Необходим для понимания формы вершин и вывода квадратичной формулы.
Шаги:
- Переместить константу в правую сторону.
- Разделить на a (если a ≠ 1)
- Добавьте (b/2a)² к обеим сторонам.
- Учитывайте левую сторону как идеальный квадрат.
- Извлеките квадратный корень из обеих частей.
Пример: x² + 6x + 5 = 0
- х² + 6х = −5
- Прибавьте (6/2)² = 9 к обеим сторонам: x² + 6x + 9 = 4.
- (х + 3)² = 4
- х + 3 = ±2
- x = −1 или x = −5
Способ 4: Построение графиков
Решениями (корнями) являются точки пересечения x параболы y = ax² + bx + c.
- Два x-перехвата → два реальных решения
- Один перехват по оси X (вершина на оси X) → одно повторное решение
- Нет пересечений с x → нет реальных решений (комплексные корни)
Когда использовать: Для визуального понимания или при использовании графического калькулятора. Непрактично для точных ответов.
Выбор правильного метода
| Ситуация | Лучший метод |
|---|---|
| Целочисленные коэффициенты, выглядят факторизуемыми | Факторинг в первую очередь |
| Любое квадратичное, нужен точный ответ | Квадратичная формула |
| Понимание вершины/минимума/максимума | Завершение площади |
| Визуальное понимание или приближение | Графика |
| b² − 4ac < 0 | Квадратичная формула (даёт комплексные корни) |
Краткий справочник: распространенные шаблоны
Разница квадратов: x² − k² = (x + k)(x − k) = 0 → x = ±k
Совершенный квадратный трёхчлен: x² + 2kx + k² = (x + k)² = 0 → x = −k (повторяется)
Нет среднего члена: ax² + c = 0 → x = ±√(−c/a) (действительно, только если c и a имеют противоположные знаки)
Сумма и произведение корней
Для ax² + bx + c = 0 с корнями r₁ и r₂:
r₁ + r₂ = −b/a
r₁ × r₂ = c/a
Пример проверки: x² − 5x + 6 = 0, корни 2 и 3:
- Сумма: 2 + 3 = 5 = −(−5)/1 ✓
- Произведение: 2 × 3 = 6 = 6/1 ✓
Используйте наш решатель кубических уравнений для уравнений степени 3 или примените приведенную выше квадратичную формулу для любого стандартного квадратного уравнения.