Стандартное отклонение показывает, насколько разбросаны данные относительно среднего значения. Небольшое стандартное отклонение означает плотную кластеризацию данных; большой означает, что он широко разбросан.
Почему стандартное отклонение имеет значение
Оба класса набирают средний балл по тесту по 75%. Но в классе А баллы варьируются в пределах 70–80%. В классе B баллы варьируются от 40 до 100%. Среднее значение скрывает важную информацию, а стандартное отклонение раскрывает ее.
Формула
Для населения (все данные):
σ = √[ Σ(x - μ)² / N ]
Для выборки (подмножества данных):
s = √[ Σ(x - x̄)² / (n-1) ]
Где:
- σ (сигма) = стандартное отклонение генеральной совокупности.
- s = стандартное отклонение выборки
- x = каждое значение
- μ или x̄ = среднее значение
- N = размер генеральной совокупности, n = размер выборки
Формула выборки делится на n-1 (а не на n), чтобы исправить погрешность при оценке по подмножеству.
Пошаговый пример
Данные: 4, 7, 13, 2, 9 (выборка из 5 значений)
Шаг 1. Рассчитайте среднее значение:
Mean = (4 + 7 + 13 + 2 + 9) / 5 = 35 / 5 = 7
Шаг 2. Вычтите среднее значение из каждого значения и квадрата:
| х | х - среднее | (х - среднее)² |
|---|---|---|
| 4 | -3 | 9 |
| 7 | 0 | 0 |
| 13 | 6 | 36 |
| 2 | -5 | 25 |
| 9 | 2 | 4 |
Шаг 3. просуммируйте квадраты разностей: 9 + 0 + 36 + 25 + 4 = 74.
Шаг 4. Разделите на n-1 = 4: 74/4 = 18,5.
Шаг 5. Извлеките квадратный корень: √18,5 ≈ 4,30
Стандартное отклонение = 4,30
Правило 68-95-99,7
Для нормально распределенных данных:
- 68% значений находятся в пределах ±1 стандартного отклонения от среднего значения.
- 95% попадают в пределы ±2 стандартных отклонений.
- 99,7% попадают в пределы ±3 стандартных отклонений.
Пример: Рост со средним значением 170 см, стандартным отклонением 10 см:
- 68% имеют рост 160–180 см.
- 95% имеют рост 150–190 см.
Реальные приложения
- Финансы: измеряет волатильность инвестиций (риск).
- Производство: Контроль качества: продукция за пределами ±3σ считается дефектом.
- Медицина: выявление аномальных результатов анализов.
- Образование: оценка по кривой.
Используйте наш Калькулятор стандартного отклонения, чтобы рассчитать среднее значение, медиану, дисперсию и стандартное отклонение для любого набора данных.