Z-skóre (alebo štandardné skóre) meria, koľko štandardných odchýlok je dátový bod od priemeru. Prevádza nespracované skóre do štandardizovanej stupnice, ktorá umožňuje porovnanie medzi rôznymi súbormi údajov.
Vzorec Z-score
z = (x − μ) ÷ σ
kde:
- x = individuálny údajový bod
- μ (mu) = priemer populácie
- σ (sigma) = štandardná odchýlka populácie
Pre vzorku nahraďte μ x̄ (priemer vzorky) a σ za s (SD vzorky).
Spracovaný príklad
Študent získa na skúške 72 bodov. Priemer triedy je 65 a štandardná odchýlka je 8.
z = (72 − 65) ÷ 8 = 7 ÷ 8 = 0.875
Tento študent dosiahol skóre 0,875 štandardnej odchýlky nad priemerom.
Interpretácia Z-skóre
| Z-skóre | Výklad | Percentil (približne) |
|---|---|---|
| −3 | Extrémne podpriemerné | 0.1% |
| −2 | Výrazne pod priemerom | 2.3% |
| −1 | Podpriemerné | 15.9% |
| 0 | V priemere | 50.0% |
| +1 | Nadpriemerné | 84.1% |
| +2 | Dobre nad priemerom | 97.7% |
| +3 | Mimoriadne nadpriemerné | 99.9% |
Pravidlo 68-95-99,7
V normálnom rozdelení:
- 68 % údajov spadá do rozsahu ±1 štandardnej odchýlky
- 95 % v rámci ±2 štandardných odchýlok
- 99,7 % v rámci ±3 štandardných odchýlok
Prevod Z-skóre na percentil
Keď budete mať z-skóre, vyhľadajte štandardnú normálnu tabuľku (Z-tabuľku) alebo použite:
Percentile = Φ(z) × 100
Kde Φ je funkcia kumulatívneho normálneho rozdelenia.
Príklad: z = 1,5 → Φ(1,5) = 0,9332 → 93,3. percentil
Aplikácie Z-scores
Financie:
- Altman Z-Score predpovedá riziko bankrotu
- Používa sa pri riadení rizík na identifikáciu odľahlých hodnôt
Zdravotná starostlivosť:
- BMI pre vekové z-skóre pre deti
- T-skóre hustoty kostí (DXA) sú formou z-skóre
Kontrola kvality:
- Six Sigma používa z-skóre na meranie spôsobilosti procesu
- Proces "6-sigma" má z-skóre 6 (3,4 defektov na milión)
Štandardné výsledky testov:
- skóre IQ: priemer 100, SD 15 (z-skóre +2 → IQ 130)
- Skóre SAT: priemer 1 000, SD 200 (na stupnici od Z-skóre)
Porovnanie skóre v rôznych testoch
Príklad: Alice dosiahla skóre 80 v teste A (priemer 70, SD 10). Bob dosiahol skóre 55 v teste B (priemer 40, SD 8).
Alice's z = (80 − 70) ÷ 10 = 1.0
Bob's z = (55 − 40) ÷ 8 = 1.875
Napriek nižšiemu hrubému skóre mal Bob lepší výkon v porovnaní so svojimi rovesníkmi.