Ni nini Bond Duration & Convexity?
▾
Muda na upenyo ni hatua mbili za kimsingi za unyeti wa dhamana kwa mabadiliko ya viwango vya riba. Kwa pamoja huwaruhusu wawekezaji kukadiria ni kiasi gani bei ya dhamana itabadilika wakati mavuno yanaposogezwa, na hivyo kuwezesha usimamizi mahususi wa hatari ya kiwango cha riba katika mifuko ya mapato isiyobadilika. Muda una aina mbili za msingi. Muda wa Macaulay, ulioanzishwa na Frederick Macaulay mnamo 1938, ni muda wa wastani uliopimwa wa kupokea mtiririko wa pesa za dhamana (malipo ya kuponi na kuu), na uzani unaolingana na thamani ya sasa ya kila mtiririko wa pesa. Inaonyeshwa kwa miaka na inawakilisha 'wakati wa malipo' unaofaa wa uwekezaji wa dhamana. Muda wa dhamana ya kuponi ya sifuri ya Macaulay ni sawa na ukomavu wake kwa kuwa mtiririko wote wa pesa hupokelewa mwishoni; Muda wa Macaulay wa dhamana ya kuponi ni mfupi kuliko ukomavu kwa sababu malipo ya muda ya kuponi hupunguza muda wa kusubiri unaofaa. Muda Uliobadilishwa hubadilisha Muda wa Macaulay kuwa kipimo cha moja kwa moja cha unyeti wa bei: inakadiria mabadiliko ya asilimia katika bei ya dhamana kwa mabadiliko ya 1% (alama 100) katika mavuno. Muda Uliobadilishwa = Muda wa Macaulay / (1 + y/m), ambapo y ni mavuno hadi ukomavu na m ni idadi ya vipindi vya kuponi kwa mwaka. Kwa mfano, dhamana iliyo na Muda Uliobadilishwa wa 7 inatarajiwa kushuka kwa takriban 7% katika bei ikiwa mavuno yatapanda pointi 100 za msingi - au kupanda kwa 7% ikiwa mavuno yatapungua pointi 100 za msingi. Convexity ni kipimo cha mpangilio wa pili cha unyeti wa bei - hunasa mkunjo katika uhusiano wa mazao ya bei ambao muda pekee unakosa. Kwa sababu bei za dhamana na mazao zina uhusiano wa mbonyeo (uliopinda) badala ya ule wa mstari, muda hukadiria faida za bei wakati mavuno yanaposhuka na kukadiria zaidi kushuka kwa bei wakati mavuno yanapoongezeka. Kuongeza urekebishaji wa convexity hutoa makadirio sahihi zaidi ya mabadiliko ya bei, haswa kwa harakati kubwa za mavuno. Usogezaji chanya (tabia ya dhamana za kawaida) inamaanisha faida ya bondi kutokana na miondoko ya kiwango cha riba katika pande zote mbili ikilinganishwa na makadirio ya muda wa mstari. Dhamana zinazoungwa mkono na rehani zinaweza kuonyesha ubadilikaji hasi wakati viwango vinavyopungua vinapoanzisha malipo ya awali. Dhana hizi ni za msingi kwa chanjo ya cheti cha dhamana, mikakati ya uwekezaji unaoendeshwa na dhima (LDI), na udhibiti wa hatari zisizobadilika za mapato katika benki, kampuni za bima na mifuko ya pensheni.
Calkulon makes complex calculations simple — built for students and everyday problem-solvers.
Fomula
▾
Muda Uliobadilishwa = Muda wa Macaulay / (1 + y/m)
ΔP/P ≈ −D_mod × Δy + 0.5 × C × (Δy)². Fomula hii hukokotoa muda wa kubadilika kwa muda kwa kuhusisha viambishi vya ingizo kupitia uhusiano wao wa kihisabati. Kila sehemu inawakilisha kiasi kinachoweza kupimika ambacho kinaweza kuthibitishwa kivyake.Maelezo ya kigezo
▾
| Ishara | Jina | Kitengo | Maelezo |
|---|---|---|---|
| D_Mac | Muda wa Macaulay | years | Muda wa wastani uliopimwa wa kupokea mtiririko wote wa pesa, na uzani sawa na thamani ya sasa ya kila mtiririko wa pesa ukigawanywa na bei ya dhamana. |
| D_mod | Muda Uliobadilishwa | years (% per 1% yield change) | Mabadiliko ya asilimia ya bei kwa kila mabadiliko ya 1% ya mavuno: D_mod = D_Mac / (1 + y/m). |
| C | Convexity | years squared | Kipimo cha pili cha unyeti wa bei; hunasa mpindo wa uhusiano wa bei na mazao ambao haujachukuliwa kwa muda. |
| y | Mazao kwa Ukomavu | % | Mavuno ya sasa ya dhamana hadi kukomaa, yanatumika kupunguza mtiririko wa pesa na kukokotoa muda. |
| m | Mzunguko wa Kuponi | payments per year | Idadi ya malipo ya kuponi kwa mwaka (k.m., 2 kwa nusu mwaka, 1 kwa mwaka). |
| ΔP/P | Mabadiliko ya Bei (%) | % | Kadirio la asilimia ya mabadiliko katika bei ya bondi: ΔP/P ≈ −D_mod × Δy + 0.5 × C × (Δy)² |
Jinsi ya Bond Duration & Convexity
▾
- 1Orodhesha mtiririko wote wa pesa za baadaye wa dhamana kwa muda wake: malipo ya kuponi (Kuponi = Thamani ya Uso × Kiwango cha Kuponi / m) katika kila kipindi na ulipaji wa thamani ya uso wakati wa kukomaa.
- 2Punguza kila mtiririko wa pesa hadi thamani yake ya sasa kwa kutumia mavuno hadi ukomavu: PV_t = CF_t / (1 + y/m)^t, ambapo t ni nambari ya kipindi.
- 3Jumlisha thamani zote zilizopo ili kupata bei ya dhamana: P = Σ PV_t.
- 4Kokotoa Muda wa Macaulay: D_Mac = Σ [t × PV_t] / P — muda wa wastani uliopimwa (katika vipindi), kisha ugawanye kwa m ili kubadilisha hadi miaka.
- 5Muda Uliorekebishwa wa Kuhesabu: D_mod = D_Mac / (1 + y/m). Huu ni usikivu wa bei ya agizo la kwanza - zidisha kwa -1 na mabadiliko ya mavuno ili kukadiria mabadiliko ya bei ya asilimia.
- 6Kokotoa Convexity: C = [Σ t(t+1) × PV_t / (1+y/m)²] / (P × m²). Neno hili la mpangilio wa pili hurekebisha makadirio ya muda kwa mkunjo wa mseto wa mazao ya bei.
- 7Kwa mabadiliko fulani ya mavuno Δy: makisio ΔP/P ≈ −D_mod × Δy + 0.5 × C × (Δy)². Kwa Δy ndogo (< 25 bps), muda wa muda pekee kawaida hutosha; kwa mabadiliko makubwa, convexity inakuwa nyenzo.
Mifano Iliyotatuliwa
▾
Bondi kwa uwiano: bei = $1,000. Ongezeko la mavuno la 100bp → takriban. -7.93% mabadiliko ya bei.
Kiwango cha kuponi ya dhamana kinapolingana na mavuno hadi ukomavu, inauzwa kwa kiwango cha ($1,000). Muda wa Macaulay wa miaka 8.11 unaonyesha muda wa wastani uliopimwa wa kupokea mtiririko wa pesa katika miaka 10 ya kuponi za nusu mwaka pamoja na mkuu wa mwisho. Muda Uliobadilishwa wa 7.93 unamaanisha kuwa dhamana inapoteza takriban 7.93% ya bei kwa kila ongezeko la 1% la mavuno. Kwa ongezeko la asilimia 100 la mavuno: ΔP/P ≈ −7.93% × 1% + 0.5 × 79.5 × (0.01)² ≈ −7.93% + 0.40% = −7.53%, kuonyesha jinsi ya kupunguza msongamano sehemu mbili.
Sifuri-kuponi: Muda ni sawa na ukomavu. Muda wa juu zaidi kwa ukomavu fulani - kiwango cha juu cha unyeti.
Bondi ya kuponi sifuri hailipi kuponi za muda - mtiririko wote wa pesa utafikia ukomavu. Kwa hivyo, Muda wake wa Macaulay ni sawa na ukomavu wake (miaka 20). Kwa Muda Uliobadilishwa wa 19.05, ongezeko la mavuno la 1% husababisha takriban kushuka kwa bei ya 19.05% - na kufanya dhamana hii kuwa nyeti sana kwa mabadiliko ya kiwango cha riba. Msongamano wa juu sana wa 399.7 hutoa ulinzi mkubwa dhidi ya hatua kubwa za mavuno, lakini dhamana inasalia kuwa chombo kinachohimili viwango vya riba zaidi kwa ukomavu wake. Dhamana za kuponi sifuri hutumiwa sana katika mikakati ya uwekezaji inayoendeshwa na dhima ili kulinganisha madeni ya muda mrefu kwa usahihi.
Kuponi ya juu inayohusiana na mavuno - inafanya biashara juu ya kiwango (bondi ya malipo). Kiwango cha chini cha unyeti.
Kwa kuponi ya 6% na 5% YTM, dhamana hii inauzwa juu ya kiwango cha juu (bondi ya kwanza, bei ≈ $1,027.23). Kuponi ya juu huharakisha upokeaji wa pesa, hivyo kupunguza Muda wa Macaulay hadi miaka 2.74 licha ya ukomavu wa miaka 3. Muda Uliobadilishwa wa 2.67 unamaanisha tu mabadiliko ya bei ya 2.67% kwa kila hatua ya 1% ya mavuno - kufanya bondi hii kuwa nyeti sana kwa kiwango cha riba kuliko dhamana ya Hazina ya miaka 10 au dhamana ya kuponi sifuri. Dhamana za muda mfupi za kampuni hutumika kupunguza hatari ya kiwango cha riba huku bado zikipata uenezaji wa mikopo juu ya mavuno ya dhamana za serikali.
Muda wa kwingineko ni wastani uliopimwa thamani wa muda wa vipengele.
Muda wa kwingineko = 0.40 × 4.3 + 0.60 × 11.2 = 1.72 + 6.72 = 8.44. Ngazi hii ya dhamana ikichanganya dhamana fupi na ndefu hutimiza muda wa kati wa miaka 8.44 - sawa na Hazina ya miaka 10 - bila kuwa na bondi moja ya miaka 10. Uwekaji ngazi hutoa manufaa ya ukwasi (bondi hukomaa mara kwa mara) na huruhusu ulengaji mahususi wa muda. Msimamizi wa kwingineko anayelenga muda wa 8.0 anaweza kurekebisha uzani kati ya Bond A na Bond B ili kufikia lengo halisi kwa kutumia aljebra rahisi ya mstari.
Matumizi ya vitendo
▾
Chanjo ya kwingineko ya dhamana: muda wa mali unaolingana na muda wa dhima kwa mifuko ya pensheni na kampuni za bima. Programu hii hutumiwa kwa kawaida na wataalamu wanaohitaji uchanganuzi mahususi wa kiasi ili kusaidia kufanya maamuzi, kupanga bajeti na kupanga mikakati katika nyanja zao husika.
Uzuiaji wa viwango vya riba: kukokotoa hatima ya Hazina au uwiano wa ua wa ubadilishaji wa viwango vya riba kwa kutumia DV01. Wataalamu wa sekta hii wanategemea hesabu hii ili kupima utendakazi, kulinganisha njia mbadala, na kuhakikisha utiifu wa viwango vilivyowekwa na mahitaji ya udhibiti.
Udhibiti usiobadilika wa hatari ya mapato: muda wa kwingineko wa kompyuta na mipaka ya DV01 ya madawati ya biashara. Watafiti wa kitaaluma na wanafunzi hutumia hesabu hii kuthibitisha mifano ya kinadharia, kukamilisha kazi za kozi, na kukuza uelewa wa kina wa kanuni za msingi za hisabati.
Ujenzi wa mkakati wa Uwekezaji Unaoendeshwa na Dhima (LDI) kwa mali maalum ya mpango wa pensheni. Wachambuzi wa fedha na wapangaji hujumuisha hesabu hii katika mtiririko wao wa kazi ili kutoa utabiri sahihi, kutathmini hali ya hatari, na kuwasilisha mapendekezo yanayotokana na data kwa wadau.
Mtaji wa udhibiti: mahesabu ya hatari ya kiwango cha riba kulingana na muda chini ya viwango vya Basel III Pillar 1 na IRRBB. Programu hii hutumiwa kwa kawaida na wataalamu wanaohitaji uchanganuzi mahususi wa kiasi ili kusaidia kufanya maamuzi, kupanga bajeti na kupanga mikakati katika nyanja zao husika.
Hali maalum
▾
Kwa mazoezi, kesi hii ya makali inahitaji kuzingatiwa kwa uangalifu kwa sababu mawazo ya kawaida hayawezi kushikilia. Wakati wa kukumbana na hali hii katika muda wa dhamana & ukokotoaji wa kikokotoo cha msongamano, watendaji wanapaswa kuthibitisha masharti ya mipaka, kuangalia hatari za mgawanyiko kwa sufuri, na kuzingatia kama mawazo ya modeli yanasalia kuwa halali chini ya hali hizi mbaya.
Kwa mazoezi, kesi hii ya makali inahitaji kuzingatiwa kwa uangalifu kwa sababu mawazo ya kawaida hayawezi kushikilia. Wakati wa kukumbana na hali hii katika muda wa dhamana & ukokotoaji wa kikokotoo cha msongamano, watendaji wanapaswa kuthibitisha masharti ya mipaka, kuangalia hatari za mgawanyiko kwa sufuri, na kuzingatia kama mawazo ya modeli yanasalia kuwa halali chini ya hali hizi mbaya.
Kwa mazoezi, kesi hii ya makali inahitaji kuzingatiwa kwa uangalifu kwa sababu mawazo ya kawaida hayawezi kushikilia. Wakati wa kukumbana na hali hii katika muda wa dhamana & ukokotoaji wa kikokotoo cha msongamano, watendaji wanapaswa kuthibitisha masharti ya mipaka, kuangalia hatari za mgawanyiko kwa sufuri, na kuzingatia kama mawazo ya modeli yanasalia kuwa halali chini ya hali hizi mbaya.
Muda wa Kawaida na Msongamano kulingana na Aina ya Bondi (Takriban, Mazingira ya Kiwango cha 2024)
▾
| Aina ya dhamana | Ukomavu | Muda Uliobadilishwa | Convexity | Unyeti wa Bei hadi +100bps |
|---|---|---|---|---|
| T-Bill ya Miezi 3 | Miezi 3 | 0.25 | 0.06 | −0.25% |
| Noti ya Hazina ya Miaka 2 | Miaka 2 | 1.85 | 3.9 | −1.85% |
| Noti ya Hazina ya Miaka 5 | miaka 5 | 4.40 | 21.0 | −4.40% |
| Dhamana ya Hazina ya Miaka 10 | miaka 10 | 7.95 | 79.5 | −7.55% |
| Dhamana ya Hazina ya Miaka 30 | Miaka 30 | 16.50 | 367.0 | −14.66% |
| Dhamana ya Kuponi ya Miaka 10 | miaka 10 | 9.52 | 98.0 | −9.05% |
| Dhamana ya Biashara ya IG (miaka 10) | miaka 10 | 7.40 | 72.0 | −7.04% |
| Dhamana ya Mavuno ya Juu (miaka 5) | miaka 5 | 3.80 | 16.5 | −3.61% |
| Kupitia MBS | ~ miaka 30 jina | 3.0 - 5.0 | Hasi | −3% hadi -5% |
Maswali yanayoulizwa mara kwa mara
▾
Ni tofauti gani ya kivitendo kati ya Macaulay na Muda Uliobadilishwa?
Muda wa Macaulay huonyeshwa kwa miaka na huwakilisha muda wa wastani uliopimwa wa kupokea mtiririko wa pesa za dhamana - ni kipimo cha muda, si kipimo cha unyeti wa bei moja kwa moja. Muda Ulioboreshwa ni toleo la kwanza la bei ya dhamana kuhusiana na mabadiliko ya mavuno (imegawanywa kwa bei), na hupima moja kwa moja asilimia ya mabadiliko ya bei kwa mabadiliko ya 1%. Kwa matumizi ya vitendo - kukadiria ni kiasi gani thamani ya bondi itabadilika viwango vinapohamishwa - Muda Uliobadilishwa ndio kipimo kinachofaa. Muda wa Macaulay ni muhimu zaidi kimawazo (kuelewa muda wa mtiririko wa pesa) na kwa kuunda jalada la chanjo (muda wa mali unaolingana na muda wa dhima katika miaka).
Kwa nini convexity ni muhimu na ni wakati gani inakuwa muhimu?
Convexity hunasa mkunjo katika uhusiano wa bei na mazao. Muda pekee hutoa makadirio ya mstari wa mabadiliko ya bei, lakini mkondo halisi wa mazao ya bei ni laini - unapinda kwenda juu. Kwa mabadiliko madogo ya mavuno (chini ya pointi 25 za msingi), muda kawaida hutosha. Kwa harakati kubwa za mavuno (50-200+ pointi za msingi), convexity inakuwa nyenzo zaidi. Wakati wa harakati kubwa za viwango vya 2022 (Hifadhi ya Shirikisho ilipandisha viwango kwa pointi 425 za msingi katika mwaka mmoja), wawekezaji waliokokotoa ipasavyo walikuwa sahihi zaidi katika kukadiria hasara ya kwingineko kuliko wale wanaotegemea muda pekee. Ubora wa hali ya juu huhitajika kwa ujumla kwani humaanisha kuwa dhamana hupoteza kidogo wakati viwango vinapopanda na kupata faida zaidi viwango vinaposhuka.
Je, mnyumbuliko hasi ni nini na ni vifungo vipi vinavyoionyesha?
Bondi nyingi za kawaida huwa na ubadilikaji chanya - faida ya bei huongezeka wakati mavuno yanaposhuka na upotevu wa bei hupungua wakati mavuno yanapoongezeka. Unyumbufu hasi ni kinyume: faida ya bei hupungua wakati mavuno yanaposhuka na upotevu wa bei huongezeka wakati mavuno yanapopanda. Hii hutokea kwa bondi zinazoweza kupigiwa simu (mtoaji huita bondi viwango vinaposhuka, thamani ya bei ya chini) na dhamana zinazoungwa mkono na rehani (wamiliki wa nyumba hulipa rehani za mapema viwango vinapopungua, na kufupisha muda wa usalama unapotaka kuwa mrefu). Vielelezo kinyume vinaweza pia kuonyesha mnyumbuliko hasi. Dhamana zilizo na ubadilikaji hasi kwa kawaida hutoa mavuno ya juu zaidi ili kufidia wawekezaji kwa tabia hii isiyofaa.
Je, muda unatumika vipi katika chanjo ya bondi?
Chanjo ni mkakati wa kulinganisha muda wa kwingineko na muda wa dhima inayolengwa, ili mabadiliko katika viwango vya riba yaathiri mali na madeni kwa usawa - na kuacha ziada ya ufadhili bila kubadilika. Hazina ya pensheni yenye madeni yenye muda wa ufanisi wa miaka 12 italenga jalada la dhamana na Muda Uliobadilishwa wa miaka 12. Viwango vinapopanda, thamani za mali na dhima zilizopo hushuka sawia, na hivyo kuacha uwiano wa ufadhili takriban bila kubadilika. Chanjo kamili pia inahitaji ulinganifu wa upatanishi: ikiwa upenyo wa mali unazidi upenyo wa dhima, kwingineko iko katika nafasi nzuri (faida kutokana na mabadiliko yoyote ya mavuno). Mikakati ya Uwekezaji Unaoendeshwa na Dhima (LDI) inayotumiwa na mifuko ya pensheni na makampuni ya bima imejengwa kwenye mfumo huu.
Muda wa Dola (DV01) ni nini na unatumikaje?
Muda wa Dola, unaoonyeshwa kwa kawaida kama DV01 (Thamani ya Dola ya Pointi ya Msingi) au PVBP (Thamani ya Bei ya Pointi ya Msingi), hupima mabadiliko ya bei ya dhamana katika masharti ya dola kwa mabadiliko ya msingi ya 1 (0.01%). DV01 = Muda Uliobadilishwa × Bei ya Dhamana × 0.0001. Kwa mfano, dhamana yenye Muda Uliobadilishwa wa 8 na bei ya $1,000,000 ina DV01 = 8 × $1,000,000 × 0.0001 = $800. DV01 inatumiwa sana na wafanyabiashara wa mapato yasiyobadilika na wasimamizi wa kwingineko kwa nafasi za ukubwa, kukokotoa uwiano wa ua, na kuwasiliana na hatari kwa kutumia dola badala ya asilimia - ambayo ni angavu zaidi kwa kwingineko kubwa na madawati ya biashara.
Je, muda wa kuponi unaathiri vipi muda?
Viwango vya juu vya kuponi hutoa muda mfupi zaidi, na viwango vya chini (au sufuri) vya kuponi hutoa muda mrefu zaidi, kwa dhamana zilizo na ukomavu sawa. Hii ni kwa sababu kuponi za juu zinamaanisha kuwa mwekezaji anapokea sehemu kubwa zaidi ya jumla ya mtiririko wa pesa mapema (kama malipo ya kuponi ya muda), kupunguza wastani wa uzani wa muda wa kupokea mapato (Muda wa Macaulay). Kwa hivyo dhamana ya kuponi ya juu haizingatii riba kuliko dhamana ya chini ya kuponi ya ukomavu sawa. Uhusiano huu unafafanua kwa nini vifungo vya kuponi sifuri vina muda wa juu unaowezekana (sawa na ukomavu) kwa urefu wowote wa ukomavu na kiwango cha mavuno.
Je, kiwango cha mavuno kinaathiri vipi muda na upenyo?
Muda na upenyo wote ni nyeti kwa kiwango cha mavuno kilichopo. Wakati mavuno ni kidogo, muda kwa ujumla huwa juu (kwa sababu viwango vya punguzo ni vya chini, hivyo kufanya mtiririko wa pesa wa mbali kuwa wa thamani zaidi), na msongamano pia huwa juu zaidi. Wakati mavuno ni mengi, muda ni wa chini na convexity ni ya chini. Hili linafaa hasa katika mazingira ya sasa ambapo viwango vimepanda kwa kiasi kikubwa kutoka viwango vya karibu sifuri - portfolios ambazo zilionekana kuwa na hatari kubwa ya muda katika 2020-2021 sasa zina muda wa chini wa ufanisi katika viwango vya juu vya mavuno. Utegemezi huu wa mavuno unamaanisha kwamba muda lazima ukokotolewe tena wakati mavuno yanaposonga sana, na makadirio ya muda tuli yanaweza kuchakaa haraka katika mazingira ya viwango tete.
Makosa ya Kawaida ya Kuepuka
▾
- !Inachanganya Muda wa Macaulay (katika miaka, kulingana na wakati) na Muda Uliobadilishwa (katika miaka, lakini kipimo cha unyeti wa bei) - wana tafsiri na matumizi tofauti.
- !Kupuuza upenyezaji wa harakati kubwa za mavuno - kwa mabadiliko ya mavuno yanayozidi pointi 50 za msingi, muda wa kubadilika huwa nyenzo na unapaswa kujumuishwa katika makadirio ya mabadiliko ya bei.
- !Kuchukua muda ni mara kwa mara - mabadiliko ya muda kadiri mavuno yanavyosonga, wakati unapita, na mtiririko wa pesa unapokelewa; lazima ihesabiwe upya mara kwa mara kwa ufuatiliaji sahihi wa hatari za kwingineko.
- !Kutumia Muda Uliorekebishwa kwa dhamana zilizo na chaguo zilizopachikwa (zinazoweza kupigiwa simu, zinazoweza kuwekwa, zinazoungwa mkono na rehani) — Muda uliorekebishwa na chaguo (OAD) au muda unaotumika lazima utumike kwa dhamana hizi.
- !Kwa kutumia muda peke yake kulinganisha jalada la dhamana na wasifu tofauti wa ubadilikaji - portfolios mbili zenye muda sawa lakini upenyo tofauti sana zina wasifu tofauti wa hatari katika mazingira yasiyo ya mstari.
Kidokezo cha Pro
Kwa udhibiti wa hatari wa mapato yasiyobadilika, tumia Muda wa Dola (DV01) kuwasiliana na hatari katika masharti ya kifedha badala ya masharti ya asilimia. Kwingineko yenye thamani ya $5,000 ya DV01 hubadilika kwa $5,000 kwa kila pointi ya msingi inayosogezwa katika mazao - inaweza kufasiriwa mara moja na wafanyabiashara, wasimamizi wa hatari na wasimamizi wa kwingineko.
Je, ulijua?
Karatasi ya Frederick Macaulay ya mwaka wa 1938 iliyomtambulisha Muda wa Macaulay ilikuwa sehemu ya utafiti muhimu ulioidhinishwa na Ofisi ya Kitaifa ya Utafiti wa Kiuchumi kuhusu viwango vya riba vya Marekani vilivyochukua zaidi ya karne moja. Wazo la muda lilipuuzwa kwa karibu miongo mitatu hadi nadharia ya chanjo ilipofufua hamu yake katika miaka ya 1960 na 1970.
Regional Guides
▾
🇺🇸 US▾
🇬🇧 UK▾
🇪🇺 EU▾
Marejeo
- ›Macaulay, F.R. (1938). Baadhi ya Matatizo ya Kinadharia Yanayopendekezwa na Mienendo ya Viwango vya Riba. NBER.
- ›Investopedia: Muda Ufafanuzi na Aina
- ›Taasisi ya CFA: Hatari ya Mapato yasiyobadilika na Kurudi
- ›Fabozzi, F.J. (2012). Masoko ya Dhamana, Uchambuzi, na Mikakati (Toleo la 8). Ukumbi wa Prentice.
Pata Vidokezo vya Hisabati vya Wiki
Jiunge na watumiaji 12,000+ wanaopata vidokezo vya kikokotoo kila wiki.