ద్విపద సంభావ్యత పంపిణీ ఒక ప్రాథమిక ప్రశ్నకు సమాధానమిస్తుంది: ఒక ఈవెంట్కు విజయ సంభావ్యత తెలిసినట్లయితే, నిర్దిష్ట సంఖ్యలో స్వతంత్ర ట్రయల్స్లో నిర్దిష్ట సంఖ్యలో విజయాలను పొందే సంభావ్యత ఎంత? ఇది నాణ్యత నియంత్రణ, వైద్య పరీక్ష, కాయిన్ ఫ్లిప్లు మరియు నిర్ణీత సంఖ్యలో అవును-లేదా-కాదు ట్రయల్స్ జరిగే చోటకు వర్తిస్తుంది.
ఫార్ములా
ద్విపద సంభావ్యత సూత్రం n స్వతంత్ర ట్రయల్స్లో ఖచ్చితంగా k విజయాల సంభావ్యతను గణిస్తుంది:
P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)
ఎక్కడ:
- n = ట్రయల్స్ సంఖ్య
- k = కావలసిన విజయాల సంఖ్య
- p = ప్రతి ట్రయల్లో విజయం యొక్క సంభావ్యత
- C(n,k) = n! / (k! × (n-k)!) — కలయికల సంఖ్య
C(n,k) మీరు n ట్రయల్స్లో k విజయాలను ఎన్ని మార్గాల్లో ఏర్పాటు చేయవచ్చో మీకు తెలియజేస్తుంది.
పనిచేసిన ఉదాహరణ
నాణ్యమైన ఇన్స్పెక్టర్ 5% లోపం రేటును కలిగి ఉన్న బ్యాచ్ నుండి 10 లైట్ బల్బులను యాదృచ్ఛికంగా నమూనా చేస్తారు. సరిగ్గా 2 బల్బులు లోపభూయిష్టంగా ఉండే సంభావ్యత ఏమిటి?
- n = 10 ట్రయల్స్
- k = 2 విజయాలు (లోపాలు)
- p = 0.05 (లోపం రేటు)
- 1 - p = 0.95
C(10,2) = 10! / (2! × 8!) = 45
P(X = 2) = 45 × (0.05)^2 × (0.95)^8
P(X = 2) = 45 × 0.0025 × 0.6634 = 0.0746 or 7.46%
కాబట్టి ఆ నమూనాలో సరిగ్గా 2 లోపభూయిష్ట బల్బులను కనుగొనే అవకాశం 7.46% ఉంది.
సంబంధిత సంభావ్యతలు
తరచుగా మీకు సంచిత సంభావ్యత కావాలి — "గరిష్టంగా 2 లోపాలు" లేదా "కనీసం 2 లోపాలు":
- P(X ≤ k): 0 నుండి k వరకు అన్ని సంభావ్యతలను సంకలనం చేయండి
- P(X ≥ k): k నుండి n వరకు అన్ని సంభావ్యతలను సంకలనం చేయండి
పెద్ద n కోసం, ద్విపద పంపిణీ సాధారణ పంపిణీని అంచనా వేస్తుంది, అందుకే బదులుగా z-స్కోర్లు మరియు సాధారణ పట్టికలు తరచుగా ఉపయోగించబడతాయి.
ద్విపద సంభావ్యతను ఎప్పుడు ఉపయోగించాలి
ఈ పంపిణీని ఉపయోగించినప్పుడు:
- మీకు నిర్ణీత సంఖ్యలో ట్రయల్స్ ఉన్నాయి
- ప్రతి ట్రయల్కు రెండు ఫలితాలు ఉంటాయి (విజయం/వైఫల్యం, లోపభూయిష్టం/మంచిది, అవును/కాదు)
- విజయం యొక్క సంభావ్యత స్థిరంగా ఉంటుంది
- ట్రయల్స్ స్వతంత్రంగా ఉంటాయి
సాధారణ అప్లికేషన్లలో డ్రగ్ ట్రయల్ ఎఫిషియసీ, ఎలక్షన్ పోలింగ్, మ్యానుఫ్యాక్చరింగ్ డిఫెక్ట్ రేట్లు మరియు గేమ్ ఫలితం అంచనాలు ఉన్నాయి.
చిట్కాలు
పెద్ద n కోసం ద్విపద సూత్రం గణనపరంగా భారీగా మారుతుంది - కాలిక్యులేటర్లు మరియు గణాంక సాఫ్ట్వేర్ అవసరం. ఇది స్థిరమైన సంభావ్యతతో స్వతంత్ర సంఘటనలను ఊహిస్తుంది అని కూడా గుర్తుంచుకోండి; ఆ అంచనాలు విచ్ఛిన్నమైతే, ఫలితం తప్పుగా ఉంటుంది.
మాన్యువల్ గణన లేకుండా తక్షణమే సంభావ్యతలను గణించడానికి మా బినోమియల్ ప్రాబబిలిటీ కాలిక్యులేటర్ ఉపయోగించండి.