పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం అన్ని గణిత శాస్త్రాలలో అత్యంత ప్రసిద్ధ ఫలితాలలో ఒకటి - ఒకే వరుసలో చెప్పగలిగేంత సరళమైనది, 370కి పైగా తెలిసిన రుజువులను కలిగి ఉండేంత లోతైనది. ఫార్ములా నుండి ఆచరణాత్మక అనువర్తనాల వరకు మీరు తెలుసుకోవలసిన ప్రతిదీ ఇక్కడ ఉంది.
ఫార్ములా
ఏదైనా లంబ త్రిభుజం కోసం (ఒక 90° కోణంతో కూడిన త్రిభుజం):
a^2 + b^2 = c^2
ఇక్కడ a మరియు b అనే రెండు కాళ్లు (లంబ కోణాన్ని ఏర్పరిచే భుజాలు) మరియు c అనేది హైపోటెన్యూస్ (లంబ కోణానికి ఎదురుగా ఉన్న వైపు - ఎల్లప్పుడూ పొడవైన వైపు).
ప్రతి వైపు కనుగొనడం
** హైపోటెన్యూస్ని కనుగొనడం (సి):**
c = √(a^2 + b^2)
** కాలును కనుగొనడం (a):**
a = √(c^2 - b^2)
మరొక కాలును కనుగొనడం (బి):
b = √(c^2 - a^2)
పనిచేసిన ఉదాహరణలు
ఉదాహరణ 1: కుడి త్రిభుజం 3 సెం.మీ మరియు 4 సెం.మీ కాళ్లను కలిగి ఉంటుంది. హైపోటెన్యూస్ను కనుగొనండి.
- c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 cm
ఉదాహరణ 2: 10 మీటర్ల పొడవు గల నిచ్చెన గోడకు ఆనుకుని ఉంటుంది, దాని పునాది గోడ నుండి 4 మీటర్లు ఉంటుంది. అది ఎంత ఎత్తుకు చేరుకుంటుంది?
- a = √(10² - 4²) = √(100 - 16) = √84 ≈ 9.17 మీటర్ల
పైథాగరియన్ ట్రిపుల్స్
పైథాగరియన్ ట్రిపుల్ అనేది a² + b² = c²ని సంతృప్తిపరిచే మూడు పూర్ణ సంఖ్యల సమితి. ఇవి తరచుగా సమస్యలలో వస్తాయి మరియు గుర్తుంచుకోవలసినవి:
| a | బి | సి |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 20 | 21 | 29 |
ట్రిపుల్ యొక్క ఏదైనా గుణకం కూడా ట్రిపుల్: (6, 8, 10), (9, 12, 15), (15, 20, 25) అన్ని పని.
ఒక సాధారణ రుజువు
అత్యంత సొగసైన రుజువు ప్రాంతాలను ఉపయోగిస్తుంది. వైపు (a + b) తో పెద్ద చతురస్రాన్ని గీయండి. దాని లోపల, a మరియు b కాళ్ళతో కుడి త్రిభుజం యొక్క నాలుగు కాపీలను అమర్చండి.
నాలుగు త్రిభుజాలు 4 × (½ab) = 2ab వైశాల్యాన్ని తీసుకుంటాయి. పెద్ద చతురస్రంలో మిగిలిన స్థలం తప్పనిసరిగా c² (హైపోటెన్యూస్పై ఉన్న చతురస్రం) అయి ఉండాలి.
పెద్ద చతురస్రం వైశాల్యం (a + b)² = a² + 2ab + b².
కాబట్టి: a² + 2ab + b² − 2ab = c²
కాబట్టి: a² + b² = c²
వాస్తవ-ప్రపంచ అనువర్తనాలు
నిర్మాణం మరియు వడ్రంగి
"3-4-5 నియమం" ప్రతిరోజు నిర్మాణ సైట్లలో మూలలు ఖచ్చితంగా చతురస్రంగా ఉన్నాయని తనిఖీ చేయడానికి ఉపయోగించబడుతుంది. ఒక గోడ వెంట 3 యూనిట్లు, ప్రక్కనే ఉన్న గోడ వెంట 4 యూనిట్లు కొలవండి, ఆపై వికర్ణం సరిగ్గా 5 యూనిట్లను కొలిస్తుందో లేదో తనిఖీ చేయండి. అలా చేస్తే, కోణం సరిగ్గా 90°.
నావిగేషన్
GPSకి ముందు, నావిగేటర్లు నిరంతరం సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించారు. మీరు తూర్పున 30 కి.మీ ఆపై 40 కి.మీ ఉత్తరంగా ప్రయాణిస్తే, ప్రారంభం నుండి మీ సరళ రేఖ దూరం √(30² + 40²) = √2500 = 50 కి.మీ.
ఆధునిక GPS వ్యవస్థలు కోఆర్డినేట్ల మధ్య దూరాలను లెక్కించడానికి సిద్ధాంతం యొక్క 3D పొడిగింపును ఉపయోగిస్తాయి.
స్క్రీన్ పరిమాణాలు
"65-అంగుళాల TV" 65 అంగుళాల వికర్ణ స్క్రీన్ కొలతను కలిగి ఉంటుంది. మీకు కారక నిష్పత్తి (16:9) తెలిస్తే, మీరు సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి ఖచ్చితమైన వెడల్పు మరియు ఎత్తును కనుగొనవచ్చు. 65" 16:9 స్క్రీన్ కోసం: వెడల్పు ≈ 56.7", ఎత్తు ≈ 31.9".
ఇంజనీరింగ్ మరియు ఫిజిక్స్
స్ట్రక్చరల్ ఇంజనీరింగ్ (లోడ్ మోసే వికర్ణాలను గణించడం), కంప్యూటర్ గ్రాఫిక్స్ (3D దృశ్యాలను రెండరింగ్ చేయడం) మరియు భౌతికశాస్త్రం (ఫలిత వెక్టర్లను గణించడం - లంబ కోణంలో రెండు శక్తుల మిశ్రమ ప్రభావం)లో సిద్ధాంతం పునాది.
3D ఎక్స్టెన్షన్: డిస్టెన్స్ ఫార్ములా
పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం సహజంగా మూడు కోణాలకు విస్తరించింది:
d = √((x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2)
ఇది కంప్యూటర్ గ్రాఫిక్స్, ఫిజిక్స్ సిమ్యులేషన్స్, GPS లెక్కలు మరియు 3D కోఆర్డినేట్లతో పనిచేసే ఏదైనా సిస్టమ్లో ఉపయోగించబడుతుంది.
ఇప్పుడు పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని లెక్కించండి
ఇతర రెండు ఇచ్చిన లంబ త్రిభుజం యొక్క ఏదైనా వైపు కనుగొనడానికి మా ఉచిత కాలిక్యులేటర్ని ఉపయోగించండి. ఏదైనా రెండు వైపులా నమోదు చేయండి మరియు దశల వారీ పనితో పాటు మూడవదాన్ని తక్షణమే పొందండి.