ఒక సర్కిల్ యొక్క చుట్టుకొలత మరియు ప్రాంతం — సూత్రాలు మరియు పని చేసిన ఉదాహరణలు

వృత్తాలు ప్రతిచోటా కనిపిస్తాయి - చక్రాలు, పైపులు, వృత్తాకార గదులు, పిజ్జా, గ్రహాలు. రెండు కొలతలు ప్రతి వృత్తాన్ని పూర్తిగా నిర్వచించాయి: చుట్టుకొలత (అంచు చుట్టూ ఉన్న దూరం) మరియు ప్రాంతం (లోపల ఖాళీ). రెండూ ఒకే విలువ నుండి నేరుగా అనుసరిస్తాయి: వ్యాసార్థం.

కీలక నిబంధనలు

వ్యాసార్థం (r): వృత్తం యొక్క కేంద్రం నుండి దాని అంచున ఉన్న ఏదైనా బిందువుకు దూరం. ఇది ప్రాథమిక కొలత - అన్ని సర్కిల్ సూత్రాలు దీనిని ఉపయోగిస్తాయి.

వ్యాసం (d): కేంద్రం ద్వారా వృత్తం అంతటా దూరం. ఎల్లప్పుడూ సరిగ్గా రెండు రెట్లు వ్యాసార్థం: d = 2r.

** చుట్టుకొలత (C):** వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలత — వెలుపలి అంచు చుట్టూ ఉన్న మొత్తం దూరం.

** ప్రాంతం (A):** వృత్తం ద్వారా చుట్టబడిన ద్విమితీయ స్థలం మొత్తం.

π (pi): ఏదైనా వృత్తం చుట్టుకొలత దాని వ్యాసానికి నిష్పత్తి. ఇది అహేతుకం (ఎప్పటికీ అంతం కాదు, పునరావృతం కాదు) మరియు దాదాపు 3.14159265కి సమానం...

చుట్టుకొలత ఫార్ములా

C = 2πr    or equivalently    C = πd

ఉదాహరణ: 5 సెం.మీ వ్యాసార్థం కలిగిన వృత్తం

C = 2 × π × 5 = 10π ≈ 31.42 cm

వ్యాసం పరంగా: నేరుగా వ్యాసం ఇచ్చినట్లయితే:

C = π × d = π × 10 = 10π ≈ 31.42 cm

రెండూ ఒకే సమాధానాన్ని ఇస్తాయి - మీ వద్ద ఉన్న కొలతను ఎంచుకోండి.

ఏరియా ఫార్ములా

A = πr²

ఉదాహరణ: 5 సెం.మీ వ్యాసార్థంతో ఒకే వృత్తం

A = π × 5² = 25π ≈ 78.54 cm²

గమనిక: ప్రాంతం ఎల్లప్పుడూ చదరపు యూనిట్లలో (cm², m², in²) ఉంటుంది. చుట్టుకొలత సరళ యూనిట్లలో ఉంటుంది (సెం.మీ, మీ, లో).

చుట్టుకొలత లేదా ప్రాంతం నుండి వెనుకకు పని చేయడం

కొన్నిసార్లు మీరు చుట్టుకొలత లేదా ప్రాంతం గురించి తెలుసుకుంటారు మరియు వ్యాసార్థాన్ని కనుగొనవలసి ఉంటుంది.

** చుట్టుకొలత నుండి వ్యాసార్థం:**

r = C / (2π)

ప్రాంతం నుండి వ్యాసార్థం:

r = √(A / π)

** చుట్టుకొలత నుండి వ్యాసం:**

d = C / π

ఉదాహరణ: వృత్తాకార క్షేత్రం చుట్టుకొలత 150 మీ. దాని విస్తీర్ణం ఎంత?

దశ 1: వ్యాసార్థాన్ని కనుగొనండి

r = 150 / (2π) = 150 / 6.2832 = 23.87 m

దశ 2: ప్రాంతాన్ని కనుగొనండి

A = π × 23.87² = π × 569.8 ≈ 1,790 m²

సాధారణ పని ఉదాహరణలు

వృత్తాకార పైపు క్రాస్-సెక్షన్

పైపు అంతర్గత వ్యాసం 40 మిమీ. క్రాస్ సెక్షనల్ ఏరియా అంటే ఏమిటి?

r = 40 / 2 = 20 mm
A = π × 20² = 400π ≈ 1,257 mm²

ప్రవాహం రేటు గణనలకు ఇది ముఖ్యమైనది - ప్రాంతం ఎంత ద్రవం గుండా వెళుతుందో నిర్ణయిస్తుంది.

రన్నింగ్ ట్రాక్

ఒక వృత్తాకార రన్నింగ్ ట్రాక్ వ్యాసార్థం 40 మీ. ఒక ల్యాప్ ఎంత దూరం?

C = 2π × 40 = 80π ≈ 251.3 m

(ప్రామాణిక 400 మీ ట్రాక్‌లు వాస్తవానికి అండాకారంగా ఉంటాయి, వృత్తాకారంలో లేవు - కానీ ఇది సూత్రాన్ని చూపుతుంది.)

పిజ్జా సైజు పోలిక

14-అంగుళాల పిజ్జా రెండు 10-అంగుళాల పిజ్జాల కంటే ఎక్కువ విలువైనదా?

14-అంగుళాల పిజ్జా:

A = π × 7² = 49π ≈ 153.9 in²

రెండు 10-అంగుళాల పిజ్జాలు:

A = 2 × π × 5² = 2 × 25π = 50π ≈ 157.1 in²

రెండు 10-అంగుళాల పిజ్జాలు కొంచెం ఎక్కువ పిజ్జాను ఇస్తాయి - కానీ ధర పోల్చదగినది అయితే మాత్రమే.

సెక్టార్‌లు మరియు ఆర్క్‌లు

సెక్టార్ అనేది వృత్తం యొక్క "స్లైస్" (పై స్లైస్ వంటిది), కేంద్ర కోణం θ ద్వారా నిర్వచించబడింది.

ఆర్క్ పొడవు (సెక్టార్ యొక్క వంపు అంచు):

Arc = (θ / 360) × 2πr    [degrees]
Arc = θr                   [radians]

సెక్టార్ ప్రాంతం:

Sector area = (θ / 360) × πr²    [degrees]
Sector area = ½r²θ               [radians]

ఉదాహరణ: 8 సెం.మీ వ్యాసార్థం మరియు కేంద్ర కోణం 45° కలిగిన సెక్టార్

Arc length = (45 / 360) × 2π × 8 = (1/8) × 16π = 2π ≈ 6.28 cm
Sector area = (45 / 360) × π × 64 = (1/8) × 64π = 8π ≈ 25.13 cm²

యాన్యులస్ (రింగ్ ఆకారం)

యాన్యులస్ అనేది వ్యాసార్థం R (బయటి) మరియు r (లోపలి) ఉన్న రెండు కేంద్రీకృత వృత్తాల మధ్య ప్రాంతం.

Annulus area = π(R² − r²) = π(R + r)(R − r)

ఉదాహరణ: బయటి వ్యాసార్థం 10 మీ మరియు లోపలి వ్యాసార్థం 7 మీతో వృత్తాకార అంచు:

Area = π(10² − 7²) = π(100 − 49) = 51π ≈ 160.2 m²

ఫార్ములాల సారాంశం

కొలత	ఫార్ములా
చుట్టుకొలత	C = 2πr = πd
ప్రాంతం	A = πr²
C నుండి వ్యాసార్థం	r = C / (2π)
A నుండి వ్యాసార్థం	r = √(A/π)
ఆర్క్ పొడవు (డిగ్రీలు)	ఆర్క్ = (θ/360) × 2πr
సెక్టార్ ప్రాంతం (డిగ్రీలు)	A = (θ/360) × πr²
యాన్యులస్ ప్రాంతం	A = π(R² - r²)

ఏదైనా సర్కిల్ కొలతను గణించడానికి మా సర్కిల్ కాలిక్యులేటర్ని ఉపయోగించండి — ఏదైనా ఒక విలువను నమోదు చేయండి మరియు మిగిలినవన్నీ తక్షణమే పొందండి.