క్యూబిక్ సమీకరణం అనేది డిగ్రీ 3 యొక్క బహుపది, సాధారణ రూపం ax³ + bx² + cx + d = 0. వర్గ సమీకరణాల మాదిరిగా కాకుండా, క్యూబిక్ సమీకరణాలు 1, 2 లేదా 3 వాస్తవ పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటాయి మరియు చాలా మంది పాఠశాలలో నేర్చుకునే సాధారణ క్లోజ్డ్-ఫార్ములాను కలిగి ఉండవు. అయినప్పటికీ, అవి కార్డానో యొక్క ఫార్ములా లేదా సంఖ్యా పద్ధతులను ఉపయోగించి పరిష్కరించబడతాయి.
సాధారణ రూపం
ax³ + bx² + cx + d = 0
ఎక్కడ a ≠ 0 (లేకపోతే అది క్యూబిక్ కాదు). సమీకరణం కలిగి ఉండవచ్చు:
- 3 విభిన్న నిజమైన మూలాలు
- 1 నిజమైన రూట్ మరియు 2 సంక్లిష్ట సంయోగ మూలాలు
- పునరావృత మూలం (వివక్షత సున్నాకి సమానం అయినప్పుడు)
కార్డానోస్ ఫార్ములా
కార్డానో సూత్రాన్ని ఉపయోగించడానికి, ముందుగా x = t - b/(3a)ని ప్రత్యామ్నాయం చేయడం ద్వారా క్యూబిక్ను (x² పదాన్ని తొలగించండి) నొక్కండి:
t³ + pt + q = 0
అప్పుడు వివక్షతతో కూడిన సంక్లిష్ట సూత్రాన్ని ఉపయోగించి మూలాలు కనుగొనబడతాయి:
Δ = -4p³ - 27q²
Δ > 0 అయితే: మూడు విభిన్న నిజమైన మూలాలు Δ = 0 అయితే: కనీసం రెండు సమానమైన వాస్తవ మూలాలు Δ <0 అయితే: ఒక నిజమైన మూలం మరియు రెండు సంక్లిష్ట సంయోగ మూలాలు
పనిచేసిన ఉదాహరణ
x³ - 6x² + 11x - 6 = 0 పరిష్కరించండి
తనిఖీ లేదా ట్రయల్ ద్వారా, మేము చిన్న పూర్ణాంకాలను పరీక్షించవచ్చు. పరీక్ష x = 1:
1 - 6 + 11 - 6 = 0 ✓
కాబట్టి x = 1 అనేది ఒక రూట్. ఫ్యాక్టరింగ్ అవుట్ (x - 1):
(x - 1)(x² - 5x + 6) = 0
(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0
మూడు మూలాలు x = 1, 2, 3.
కారకం లేకుండా మూలాలను కనుగొనడం
చక్కగా కారకం లేని క్యూబిక్ సమీకరణాల కోసం, ఉపయోగించండి:
- కార్డానో సూత్రం (బీజగణితపరంగా ఖచ్చితమైనది కానీ సంక్లిష్టమైనది)
- న్యూటన్-రాఫ్సన్ వంటి సంఖ్యా పద్ధతులు (పునరుక్తి, ఒక సమయంలో ఒక మూలాన్ని కనుగొంటుంది)
- మూలాలను అంచనా వేయడానికి మరియు న్యూటన్-రాప్సన్తో శుద్ధి చేయడానికి గ్రాఫింగ్
అప్లికేషన్లు
క్యూబిక్ సమీకరణాలు ఇందులో కనిపిస్తాయి:
- ఇంజనీరింగ్ (స్ట్రెస్-స్ట్రెయిన్ అనాలిసిస్, ఫ్లూయిడ్ డైనమిక్స్)
- ఫిజిక్స్ (నిరోధక మాధ్యమంలో ప్రొజెక్టైల్ మోషన్, క్యూబిక్ మెటీరియల్స్)
- ఆర్థికశాస్త్రం (ఆప్టిమైజేషన్ సమస్యలు, ఉత్పత్తి వ్యయ వక్రతలు)
- కంప్యూటర్ గ్రాఫిక్స్ (క్యూబిక్ బెజియర్ వక్రతలు)
చిట్కాలు
మీరు హేతుబద్ధ మూలాలను అనుమానించినట్లయితే, హేతుబద్ధమైన మూల సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించండి: ఏదైనా హేతుబద్ధమైన మూలం p/qలో p విభజన d మరియు q విభజన a ఉంటుంది. ఇది మీ పరీక్ష అభ్యర్థులను గణనీయంగా తగ్గిస్తుంది. ప్రత్యామ్నాయం ద్వారా ఎల్లప్పుడూ మూలాలను ధృవీకరించండి.
నిజమైన లేదా సంక్లిష్టమైన అన్ని మూలాలను తక్షణమే కనుగొనడానికి మా క్యూబిక్ ఈక్వేషన్ సాల్వర్ని ఉపయోగించండి.