z-స్కోర్ (లేదా ప్రామాణిక స్కోర్) సగటు నుండి డేటా పాయింట్ ఎన్ని ప్రామాణిక విచలనాలను కొలుస్తుంది. ఇది వివిధ డేటాసెట్లలో పోలికను ప్రారంభించే ముడి స్కోర్లను ప్రామాణిక స్కేల్గా మారుస్తుంది.
Z-స్కోర్ ఫార్ములా
z = (x − μ) ÷ σ
ఎక్కడ:
- x = వ్యక్తిగత డేటా పాయింట్
- μ (mu) = జనాభా సగటు
- σ (సిగ్మా) = జనాభా ప్రామాణిక విచలనం
నమూనా కోసం, μని x̄ (నమూనా సగటు)తో మరియు σని s (నమూనా SD)తో భర్తీ చేయండి.
పనిచేసిన ఉదాహరణ
ఒక విద్యార్థి పరీక్షలో 72 స్కోర్ చేశాడు. తరగతి సగటు 65, మరియు ప్రామాణిక విచలనం 8.
z = (72 − 65) ÷ 8 = 7 ÷ 8 = 0.875
ఈ విద్యార్థి సగటు** కంటే **0.875 ప్రామాణిక విచలనాలను సాధించారు.
Z-స్కోర్లను వివరించడం
| Z-స్కోరు | వివరణ | శాతం (సుమారు.) |
|---|---|---|
| −3 | సగటు కంటే చాలా తక్కువ | 0.1% |
| −2 | సగటు కంటే బాగా తక్కువ | 2.3% |
| −1 | సగటు కంటే తక్కువ | 15.9% |
| 0 | సగటున | 50.0% |
| +1 | సగటు కంటే ఎక్కువ | 84.1% |
| +2 | సగటు కంటే బాగా | 97.7% |
| +3 | సగటు కంటే చాలా ఎక్కువ | 99.9% |
68-95-99.7 నియమం
సాధారణ పంపిణీలో:
- 68% డేటా ±1 ప్రామాణిక విచలనం పరిధిలోకి వస్తుంది
- 95% ±2 ప్రామాణిక విచలనాలు
- 99.7% ±3 ప్రామాణిక విచలనాలు
Z-స్కోర్ను పర్సంటైల్గా మారుస్తోంది
మీరు z-స్కోర్ని పొందిన తర్వాత, ప్రామాణిక సాధారణ పట్టిక (Z-టేబుల్)ని చూడండి లేదా వీటిని ఉపయోగించండి:
Percentile = Φ(z) × 100
ఇక్కడ Φ అనేది సంచిత సాధారణ పంపిణీ ఫంక్షన్.
ఉదాహరణ: z = 1.5 → Φ(1.5) = 0.9332 → 93.3వ శాతం
Z-స్కోర్ల అప్లికేషన్లు
ఆర్థిక:
- ఆల్ట్మాన్ Z-స్కోర్ దివాలా ప్రమాదాన్ని అంచనా వేస్తుంది
- అవుట్లైయర్లను గుర్తించడానికి రిస్క్ మేనేజ్మెంట్లో ఉపయోగించబడుతుంది
ఆరోగ్య సంరక్షణ:
- పిల్లల వయస్సు z-స్కోర్ల కోసం BMI
- ఎముక సాంద్రత (DXA) T-స్కోర్లు z-స్కోర్ యొక్క ఒక రూపం
నాణ్యత నియంత్రణ:
- ప్రాసెస్ సామర్థ్యాన్ని కొలవడానికి సిక్స్ సిగ్మా z-స్కోర్లను ఉపయోగిస్తుంది
- "6-సిగ్మా" ప్రక్రియలో 6 z-స్కోరు ఉంటుంది (మిలియన్కు 3.4 లోపాలు)
ప్రామాణిక పరీక్ష స్కోర్లు:
- IQ స్కోర్లు: సగటు 100, SD 15 (z-స్కోరు +2 → IQ 130)
- SAT స్కోర్లు: సగటు 1000, SD 200 (z-స్కోర్ల నుండి స్కేల్ చేయబడింది)
వివిధ పరీక్షలలో స్కోర్లను పోల్చడం
ఉదాహరణ: టెస్ట్ Aలో ఆలిస్ 80 పరుగులు చేసింది (అంటే 70, SD 10). టెస్ట్ Bలో బాబ్ 55 పరుగులు చేశాడు (అంటే 40, SD 8).
Alice's z = (80 − 70) ÷ 10 = 1.0
Bob's z = (55 − 40) ÷ 8 = 1.875
తక్కువ రా స్కోర్ ఉన్నప్పటికీ, బాబ్ తన తోటివారితో పోలిస్తే మెరుగైన పనితీరు కనబరిచాడు.