ప్రధాన సంఖ్య అనేది 1 కంటే ఎక్కువ మొత్తం సంఖ్య, ఇది ఖచ్చితంగా రెండు కారకాలను కలిగి ఉంటుంది: 1 మరియు దానికదే. ప్రధాన సంఖ్యలు అన్ని పూర్ణాంకాల బిల్డింగ్ బ్లాక్లు - ప్రతి పూర్ణ సంఖ్యను ప్రైమ్ల ఉత్పత్తిగా వ్యక్తీకరించవచ్చు.
మొదటి 25 ప్రధాన సంఖ్యలు
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
2 మాత్రమే సరి ప్రధాన సంఖ్య అని గమనించండి. అన్ని ఇతర సరి సంఖ్యలు 2 ద్వారా భాగించబడతాయి.
విధానం 1: ట్రయల్ డివిజన్
సంఖ్య ప్రైమ్ కాదా అని పరీక్షించడానికి సులభమైన మార్గం — దాని వర్గమూలం వరకు ఉన్న ఏదైనా సంఖ్య దానిని సమానంగా విభజిస్తుందో లేదో తనిఖీ చేయండి.
కీలక అంతర్దృష్టి: n √n కంటే ఎక్కువ కారకాన్ని కలిగి ఉంటే, అది కూడా √n కంటే తక్కువ సంబంధిత కారకాన్ని కలిగి ఉంటుంది. కాబట్టి మీరు √n వరకు మాత్రమే తనిఖీ చేయాలి.
అల్గోరిథం:
- n <2 అయితే, ప్రైమ్ కాదు
- n = 2 అయితే, ప్రధానం
- n సరి అయితే (2 మినహా), ప్రైమ్ కాదు
- 3 నుండి √n వరకు అన్ని బేసి సంఖ్యలను తనిఖీ చేయండి
- ఏదైనా n ను సమానంగా భాగిస్తే, ప్రధానం కాదు
- లేకపోతే, ప్రైమ్
ఉదాహరణ: 97 ప్రధానమా?
√97 ≈ 9.85, కాబట్టి 9: 2, 3, 5, 7 వరకు ప్రైమ్లను తనిఖీ చేయండి
- 97 ÷ 2 = 48.5 (పూర్తి కాదు)
- 97 ÷ 3 = 32.33... (పూర్తి కాదు)
- 97 ÷ 5 = 19.4 (పూర్తి కాదు)
- 97 ÷ 7 = 13.86 (పూర్తి కాదు)
భాగహారాలు ఏవీ కనుగొనబడలేదు - 97 ప్రధానం.
ఉదాహరణ: 91 ప్రధానమా?
√91 ≈ 9.54, 9: 2, 3, 5, 7 వరకు తనిఖీ చేయండి
- 91 ÷ 7 = 13 (మొత్తం సంఖ్య!)
91 ప్రధానం కాదు — 91 = 7 × 13.
విధానం 2: ఎరాటోస్తేనెస్ జల్లెడ
ఎరాటోస్తేనెస్ యొక్క జల్లెడ అన్ని ప్రైమ్లను ఇచ్చిన పరిమితి వరకు కనుగొంటుంది. ఇది వేగవంతమైనది మరియు సొగసైనది, దాదాపు 240 BCలో గ్రీకు గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు ఎరాటోస్తనీస్ కనిపెట్టాడు.
50 వరకు అన్ని ప్రైమ్లను కనుగొనడానికి:
- 2 నుండి 50 వరకు సంఖ్యలను వ్రాయండి
- 2 (మొదటి ప్రైమ్)తో ప్రారంభించండి. 2 (4, 6, 8...) యొక్క అన్ని గుణిజాలను దాటండి
- తదుపరి క్రాస్ చేయని సంఖ్యకు తరలించండి: 3. 3 యొక్క గుణిజాలను దాటండి (9, 15, 21...)
- తదుపరి అన్క్రాస్డ్: 5. 5 యొక్క గుణిజాలను క్రాస్ అవుట్ చేయండి (25, 35...)
- తదుపరి అన్క్రాస్డ్: 7. 7 యొక్క గుణిజాలను క్రాస్ అవుట్ చేయండి (49...)
- మీరు √50 ≈ 7.07కి చేరుకున్నప్పుడు ఆపివేయండి
- మిగిలిన అన్ని క్రాస్ చేయని సంఖ్యలు ప్రధానమైనవి
50 వరకు ప్రైమ్లు: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47
100 వరకు ప్రైమ్లు: పూర్తి జాబితా
| పరిధి | ప్రధానులు |
|---|---|
| 1-10 | 2, 3, 5, 7 |
| 11-20 | 11, 13, 17, 19 |
| 21-30 | 23, 29 |
| 31-40 | 31, 37 |
| 41–50 | 41, 43, 47 |
| 51–60 | 53, 59 |
| 61–70 | 61, 67 |
| 71–80 | 71, 73, 79 |
| 81–90 | 83, 89 |
| 91–100 | 97 |
100 కంటే తక్కువ 25 ప్రైమ్లు ఉన్నాయి.
త్వరిత విభజన పరీక్షలు
పూర్తి విభజన చేయడానికి ముందు, ఈ నియమాలను తనిఖీ చేయండి:
| ద్వారా భాగించబడుతుంది | ఒకవేళ... |
|---|---|
| 2 | చివరి అంకె సరి (0,2,4,6,8) |
| 3 | 3చే భాగించబడే అంకెల మొత్తం |
| 5 | చివరి అంకె 0 లేదా 5 |
| 7 | సాధారణ నియమం లేదు - కేవలం విభజించండి |
| 11 | ప్రత్యామ్నాయ అంకెల మొత్తం 11చే భాగించబడుతుంది |
ఉదాహరణ: 143 ప్రధానమా?
- కూడా కాదు ✓
- 1+4+3 = 8, 3 ✓చే భాగించబడదు
- 0 లేదా 5 ✓లో ముగియదు
- √143 ≈ 11.96, 11 వరకు తనిఖీ చేయండి
- 143 ÷ 7 = 20.43 ✓
- 143 ÷ 11 = 13 — భాగించదగినది!
143 = 11 × 13. ప్రైమ్ కాదు.
ప్రధానాలు ఎందుకు ముఖ్యమైనవి
క్రిప్టోగ్రఫీ: RSA ఎన్క్రిప్షన్ — ఇంటర్నెట్ బ్యాంకింగ్, HTTPS మరియు ఇమెయిల్లను సురక్షితంగా ఉంచడానికి ఉపయోగించబడుతుంది — రెండు పెద్ద ప్రైమ్లను గుణించడం చాలా సులభం, కానీ ఫలితాన్ని తిరిగి ప్రైమ్లుగా మార్చడం చాలా కష్టం.
కంప్యూటర్ సైన్స్: హాష్ పట్టికలు, యాదృచ్ఛిక సంఖ్య జనరేటర్లు మరియు చెక్సమ్లు ప్రధాన సంఖ్యల లక్షణాలను ఉపయోగిస్తాయి.
** స్వచ్ఛమైన గణితం:** ప్రైమ్ల పంపిణీ గణితంలో లోతైన పరిష్కారం కాని సమస్యల్లో ఒకటిగా మిగిలిపోయింది — రీమాన్ పరికల్పన.
ఆసక్తికరమైన ప్రధాన వాస్తవాలు
- తెలిసిన అతిపెద్ద ప్రైమ్ (2024 నాటికి) 41 మిలియన్లకు పైగా అంకెలను కలిగి ఉంది
- ట్విన్ ప్రైమ్లు 2 (11 మరియు 13, 17 మరియు 19, 41 మరియు 43) తేడాతో ఉండే ప్రైమ్లు
- అనంతమైన అనేక ప్రధానాంశాలు ఉన్నాయి — సుమారు 300 BCలో యూక్లిడ్ ద్వారా నిరూపించబడింది
- గోల్డ్బాచ్ ఊహ (1742 నుండి నిరూపించబడలేదు): ప్రతి సరి సంఖ్య > 2 అనేది రెండు ప్రధానాల మొత్తం