ఒక చతురస్రాకార సమీకరణం ax² + bx + c = 0 రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది. వాటిని పరిష్కరించడానికి నాలుగు పద్ధతులు ఉన్నాయి - ఏది ఉపయోగించాలో మరియు ఎప్పుడు బీజగణితాన్ని చాలా వేగంగా చేస్తుంది.
ప్రామాణిక ఫారమ్
ప్రతి వర్గ సమీకరణాన్ని ఇలా వ్రాయవచ్చు:
ax² + bx + c = 0
ఇక్కడ a ≠ 0 (ఒక = 0 అయితే, అది సరళ సమీకరణం).
** ఉదాహరణలు:**
- x² - 5x + 6 = 0 (a=1, b=-5, c=6)
- 2x² + 3x - 2 = 0 (a=2, b=3, c=-2)
- x² - 9 = 0 (a=1, b=0, c=-9)
విధానం 1: ఫ్యాక్టరింగ్
సమీకరణం పూర్ణాంకాలకి కారణమవుతున్నప్పుడు ఉత్తమంగా పని చేస్తుంది. వర్తించేటప్పుడు వేగవంతమైన పద్ధతి.
దశలు:
- ప్రామాణిక రూపంలో వ్రాయండి
- (a × c)కి గుణించే మరియు bకి జోడించే రెండు సంఖ్యలను కనుగొనండి
- మధ్య పదం మరియు కారకాన్ని సమూహం చేయడం ద్వారా విభజించండి
- ప్రతి కారకాన్ని సున్నాకి సమానంగా సెట్ చేయండి
ఉదాహరణ: x² - 5x + 6 = 0
- రెండు సంఖ్యలు కావాలి: 6కి గుణించండి, −5 → −2 మరియు −3కి జోడించండి
- కారకం: (x - 2)(x - 3) = 0
- పరిష్కారాలు: x = 2 లేదా x = 3
ఉదాహరణ: 2x² + 5x + 3 = 0
- a × c = 6, 5 → 2 మరియు 3కి జోడించే కారకాలు అవసరం
- తిరిగి వ్రాయండి: 2x² + 2x + 3x + 3 = 0
- కారకం: 2x(x + 1) + 3(x + 1) = 0
- కారకం: (2x + 3)(x + 1) = 0
- పరిష్కారాలు: x = -3/2 లేదా x = -1
ఎప్పుడు ఉపయోగించాలి: మీరు కారకాలను త్వరగా గుర్తించగలిగినప్పుడు. మీరు 30 సెకన్లలో కారకాలను కనుగొనలేకపోతే, పద్ధతులను మార్చండి.
విధానం 2: క్వాడ్రాటిక్ ఫార్ములా
ప్రతి క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం కోసం పని చేస్తుంది. కారకం స్పష్టంగా లేనప్పుడు దీన్ని ఉపయోగించండి.
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)
** ఉదాహరణ:** 2x² + 3x - 2 = 0 (a=2, b=3, c=−2)
- వివక్షత: b² - 4ac = 9 - (4 × 2 × -2) = 9 + 16 = 25
- √25 = 5
- x = (−3 ± 5) ÷ 4
- x = (−3 + 5) ÷ 4 = 0.5 లేదా x = (−3 - 5) ÷ 4 = −2
వివక్ష: ఎన్ని పరిష్కారాలు?
b² - 4ac అనే వ్యక్తీకరణ మీరు పరిష్కరించే ముందు పరిష్కారాల స్వభావాన్ని తెలియజేస్తుంది:
| వివక్షత | పరిష్కారాల సంఖ్య | టైప్ చేయండి |
|---|---|---|
| b² - 4ac > 0 | రెండు విభిన్న నిజమైన పరిష్కారాలు | వాస్తవ సంఖ్యలు |
| b² - 4ac = 0 | ఒక పునరావృత పరిష్కారం | నిజమైన, సమాన మూలాలు |
| b² - 4ac <0 | అసలు పరిష్కారాలు లేవు | రెండు సంక్లిష్ట/ఊహాత్మక మూలాలు |
ఉదాహరణ: x² + 2x + 5 = 0
- వివక్ష = 4 − 20 = −16 → నిజమైన పరిష్కారాలు లేవు
- సంక్లిష్ట పరిష్కారాలు: x = (−2 ± √(−16)) ÷ 2 = -1 ± 2i
విధానం 3: చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం
సమీకరణాన్ని (x + p)² = q రూపంలోకి మారుస్తుంది. శీర్ష రూపాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి మరియు చతురస్రాకార సూత్రాన్ని రూపొందించడానికి అవసరం.
దశలు:
- స్థిరంగా కుడి వైపుకు తరలించండి
- a ద్వారా భాగించండి (ఒక ≠ 1 అయితే)
- రెండు వైపులా (b/2a)² జోడించండి
- ఒక ఖచ్చితమైన చతురస్రం వలె ఎడమ వైపు కారకం చేయండి
- రెండు వైపుల వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి
ఉదాహరణ: x² + 6x + 5 = 0
- x² + 6x = −5
- రెండు వైపులా (6/2)² = 9 జోడించండి: x² + 6x + 9 = 4
- (x + 3)² = 4
- x + 3 = ±2
- x = -1 లేదా x = -5
విధానం 4: గ్రాఫింగ్
పరిష్కారాలు (మూలాలు) పారాబొలా y = ax² + bx + c యొక్క x-ఇంటర్సెప్ట్లు.
- రెండు x-ఇంటర్సెప్ట్లు → రెండు నిజమైన పరిష్కారాలు
- ఒక x-ఇంటర్సెప్ట్ (x-యాక్సిస్పై శీర్షం) → ఒక పునరావృత పరిష్కారం
- x-అంతరాయాలు లేవు → నిజమైన పరిష్కారాలు లేవు (సంక్లిష్ట మూలాలు)
ఎప్పుడు ఉపయోగించాలి: దృశ్య అవగాహన కోసం లేదా గ్రాఫింగ్ కాలిక్యులేటర్ని ఉపయోగిస్తున్నప్పుడు. ఖచ్చితమైన సమాధానాల కోసం ఆచరణాత్మకమైనది కాదు.
సరైన పద్ధతిని ఎంచుకోవడం
| పరిస్థితి | ఉత్తమ పద్ధతి |
|---|---|
| పూర్ణాంక గుణకాలు, కారకంగా కనిపిస్తున్నాయి | ముందుగా కారకం |
| ఏదైనా చతుర్భుజం, ఖచ్చితమైన సమాధానం అవసరం | క్వాడ్రాటిక్ ఫార్ములా |
| శీర్షం/కనిష్ట/గరిష్టాన్ని అర్థం చేసుకోవడం | చతురస్రాన్ని పూర్తి చేస్తోంది |
| దృశ్య అవగాహన లేదా ఉజ్జాయింపు | గ్రాఫింగ్ |
| b² - 4ac <0 | క్వాడ్రాటిక్ ఫార్ములా (సంక్లిష్ట మూలాలను ఇస్తుంది) |
త్వరిత సూచన: సాధారణ నమూనాలు
చతురస్రాల వ్యత్యాసం: x² - k² = (x + k)(x - k) = 0 → x = ±k
పర్ఫెక్ట్ స్క్వేర్ ట్రినోమియల్: x² + 2kx + k² = (x + k)² = 0 → x = −k (పునరావృతం)
మధ్య పదం లేదు: ax² + c = 0 → x = ±√(−c/a) (నిజానికి c మరియు a వ్యతిరేక సంకేతాలను కలిగి ఉంటే మాత్రమే)
మూలాల మొత్తం మరియు ఉత్పత్తి
r₁ మరియు r₂ మూలాలతో ax² + bx + c = 0 కోసం:
r₁ + r₂ = −b/a
r₁ × r₂ = c/a
** ఉదాహరణ ధృవీకరణ:** x² - 5x + 6 = 0, మూలాలు 2 మరియు 3:
- మొత్తం: 2 + 3 = 5 = −(-5)/1 ✓
- ఉత్పత్తి: 2 × 3 = 6 = 6/1 ✓
డిగ్రీ-3 సమీకరణాల కోసం మా క్యూబిక్ ఈక్వేషన్ సాల్వర్ని ఉపయోగించండి లేదా ఏదైనా ప్రామాణిక క్వాడ్రాటిక్ కోసం పైన ఉన్న క్వాడ్రాటిక్ ఫార్ములాను వర్తింపజేయండి.