ప్రామాణిక విచలనం సగటులో డేటా ఎలా స్ప్రెడ్ అవుతుందో తెలియజేస్తుంది. ఒక చిన్న ప్రామాణిక విచలనం అంటే డేటా క్లస్టర్లను కఠినంగా ఉంచడం; పెద్దది అంటే అది విస్తృతంగా చెల్లాచెదురుగా ఉంది.
ప్రామాణిక విచలనం ఎందుకు ముఖ్యమైనది
ఒక పరీక్షలో రెండు తరగతులు రెండూ సగటు 75%. కానీ క్లాస్ Aలో, స్కోర్లు 70-80% వరకు ఉంటాయి. B తరగతిలో, స్కోర్లు 40–100% వరకు ఉంటాయి. సగటు ముఖ్యమైన సమాచారాన్ని దాచిపెడుతుంది - ప్రామాణిక విచలనం దానిని వెల్లడిస్తుంది.
ఫార్ములా
జనాభా కోసం (మొత్తం డేటా):
σ = √[ Σ(x - μ)² / N ]
నమూనా కోసం (డేటా యొక్క ఉపసమితి):
s = √[ Σ(x - x̄)² / (n-1) ]
ఎక్కడ:
- σ (సిగ్మా) = జనాభా ప్రామాణిక విచలనం
- s = నమూనా ప్రామాణిక విచలనం
- x = ప్రతి విలువ
- μ లేదా x̄ = సగటు
- N = జనాభా పరిమాణం, n = నమూనా పరిమాణం
ఉపసమితి నుండి అంచనా వేసేటప్పుడు పక్షపాతాన్ని సరిచేయడానికి నమూనా ఫార్ములా n-1 (n కాదు) ద్వారా విభజిస్తుంది.
దశల వారీ ఉదాహరణ
డేటా: 4, 7, 13, 2, 9 (5 విలువల నమూనా)
దశ 1: సగటును లెక్కించండి:
Mean = (4 + 7 + 13 + 2 + 9) / 5 = 35 / 5 = 7
దశ 2: ప్రతి విలువ మరియు చతురస్రం నుండి సగటును తీసివేయండి:
| x | x - అర్థం | (x - సగటు)² |
|---|---|---|
| 4 | -3 | 9 |
| 7 | 0 | 0 |
| 13 | 6 | 36 |
| 2 | -5 | 25 |
| 9 | 2 | 4 |
దశ 3: స్క్వేర్డ్ తేడాలను సంకలనం చేయండి: 9 + 0 + 36 + 25 + 4 = 74
దశ 4: n-1 = 4: 74 / 4 = 18.5 ద్వారా భాగించండి
దశ 5: వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి: √18.5 ≈ 4.30
ప్రామాణిక విచలనం = 4.30
68-95-99.7 నియమం
సాధారణంగా పంపిణీ చేయబడిన డేటా కోసం:
- 68% విలువలు సగటు యొక్క ±1 ప్రామాణిక విచలనం పరిధిలోకి వస్తాయి
- 95% ±2 ప్రామాణిక విచలనాల్లోకి వస్తాయి
- 99.7% ±3 ప్రామాణిక విచలనాల్లోకి వస్తాయి
ఉదాహరణ: ఎత్తులు సగటు 170 సెం.మీ, SD 10 సెం.మీ:
- 68% 160-180 సెం.మీ మధ్య ఉంటాయి
- 95% 150-190 సెం.మీ
వాస్తవ-ప్రపంచ అనువర్తనాలు
- ఫైనాన్స్: పెట్టుబడి అస్థిరతను కొలుస్తుంది (రిస్క్)
- తయారీ: నాణ్యత నియంత్రణ — ±3σ వెలుపలి ఉత్పత్తులు లోపాలు
- మెడిసిన్: అసాధారణ పరీక్ష ఫలితాలను గుర్తించడం
- విద్య: వక్రరేఖపై గ్రేడింగ్
ఏదైనా డేటాసెట్ కోసం సగటు, మధ్యస్థం, వ్యత్యాసం మరియు ప్రామాణిక విచలనాన్ని లెక్కించడానికి మా ప్రామాణిక విచలనం కాలిక్యులేటర్ ఉపయోగించండి.