z-స్కోర్ సగటు నుండి విలువ ఎన్ని ప్రామాణిక విచలనాలను కొలుస్తుంది. ఇది సార్వత్రిక సాధారణ పట్టిక లేదా కాలిక్యులేటర్ని ఉపయోగించి సంభావ్యతలను కనుగొనగలిగే ఏదైనా సాధారణ పంపిణీని ప్రామాణిక స్కేల్గా మార్చడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది గణాంక అనుమితి యొక్క పునాది.
ఫార్ములా
z = (x - μ) / σ
ఎక్కడ:
- x = మీరు మూల్యాంకనం చేస్తున్న విలువ
- μ (mu) = జనాభా సగటు
- σ (సిగ్మా) = జనాభా ప్రామాణిక విచలనం
0 యొక్క z-స్కోరు అంటే విలువ సగటుకు సమానం. పాజిటివ్ z-స్కోర్లు సగటు కంటే ఎక్కువగా ఉన్నాయి; ప్రతికూల z-స్కోర్లు క్రింద ఉన్నాయి. మాగ్నిట్యూడ్ మీకు ప్రామాణిక విచలనాలలో దూరాన్ని తెలియజేస్తుంది.
పనిచేసిన ఉదాహరణ
కళాశాల ప్రవేశ పరీక్షలో సగటు 500 మరియు ప్రామాణిక విచలనం 100. మీరు స్కోర్ 650. మీ z-స్కోర్ ఎంత?
z = (650 - 500) / 100 = 150 / 100 = 1.5
మీ స్కోర్ సగటు కంటే 1.5 ప్రామాణిక విచలనాలు. ప్రామాణిక సాధారణ పట్టికను ఉపయోగించి, P(z ≤ 1.5) ≈ 0.9332, అంటే 93.32% మంది పరీక్షకు హాజరైనవారు మీ కంటే తక్కువ స్కోర్ చేసారు.
Z-స్కోర్ పట్టికలను ఉపయోగించడం
zని లెక్కించిన తర్వాత, మీరు దాని సంభావ్యతను ప్రామాణిక సాధారణ పట్టికలో చూస్తారు, ఇది P(Z ≤ z) సంచిత సంభావ్యతలను ఇస్తుంది. పట్టికలు చూపుతాయి:
- వన్-టెయిల్డ్ ప్రాబబిలిటీస్: P(Z ≤ z) లేదా P(Z ≥ z)
- టూ-టెయిల్డ్ ప్రాబబిలిటీస్: కాన్ఫిడెన్స్ ఇంటర్వెల్స్ మరియు హైపోథెసిస్ టెస్ట్లకు ఉపయోగపడుతుంది
ఉదాహరణకు, z = 1.96 P(Z ≤ 1.96) ≈ 0.975కి అనుగుణంగా ఉంటుంది. z = ±1.96కి మించిన రెండు తోకలలోని ప్రాంతం 0.05, అందుకే 95% విశ్వాస అంతరాలకు 1.96 కీలక విలువ.
సాధారణ Z-స్కోర్ కటాఫ్లు
| Z-స్కోరు | సంచిత సంభావ్యత | శాతం |
|---|---|---|
| -3 | 0.0013 | 0.13వ |
| -2 | 0.0228 | 2.28వ |
| -1 | 0.1587 | 15.87వ |
| 0 | 0.5000 | 50వ |
| 1 | 0.8413 | 84.13వ |
| 2 | 0.9772 | 97.72వ |
| 3 | 0.9987 | 99.87వ |
ఎప్పుడు ఉపయోగించాలి
Z-స్కోర్లు వీటికి అవసరం:
- వివిధ పంపిణీల నుండి విలువలను పోల్చడం
- సాధారణ పంపిణీని ఉపయోగించి సంభావ్యతలను కనుగొనడం
- అవుట్లైయర్లను గుర్తించడం (సాధారణంగా |z| > 3)
- పరికల్పన పరీక్ష మరియు విశ్వాస విరామాలు
- పరీక్ష స్కోర్లను ప్రామాణీకరించడం
చిట్కాలు
Z-స్కోర్లు సాధారణంగా పంపిణీ చేయబడిన డేటా కోసం మాత్రమే పని చేస్తాయి. మీ పంపిణీ తీవ్రంగా వక్రంగా ఉన్నట్లయితే లేదా భారీ తోకలు ఉన్నట్లయితే, z-స్కోర్లు తప్పుదారి పట్టించేవిగా ఉంటాయి. అలాగే, z (జనాభా పారామితి) మరియు t (నమూనా గణాంకం) మధ్య వ్యత్యాసాన్ని గుర్తుంచుకోండి — σ తెలిసినప్పుడు z, మీరు నమూనా నుండి అంచనా వేసినప్పుడు t ఉపయోగించండి.
స్కోర్లను z-స్కోర్లుగా మార్చడానికి మరియు తక్షణమే సంభావ్యతలను కనుగొనడానికి మా Z-స్కోర్ కాలిక్యులేటర్ ఉపయోగించండి.