Ano ang Black-Scholes Option Pricing?
▾
Kinakalkula ng Black-Scholes model ang patas na presyo ng isang European-style na opsyon — isang kontrata na nagbibigay sa iyo ng karapatan, ngunit hindi ng obligasyon, na bumili (tumawag) o magbenta (maglagay) ng stock sa isang nakapirming presyo sa isang tiyak na petsa sa hinaharap. Bago ang 1973, ang mga opsyon ay napresyuhan sa pamamagitan ng intuwisyon at negosasyon. Binago nina Fischer Black at Myron Scholes ang lahat gamit ang iisang equation na tinuturing ang pagpepresyo ng opsyon bilang isang mathematical na katiyakan na binigyan ng limang nakikitang input. Kasama ng mga pagpipino ni Robert Merton, ang gawaing ito ay nakakuha ng 1997 Nobel Prize sa Economics kina Scholes at Merton at nagsilang ng modernong derivatives market na nagkakahalaga ng daan-daang trilyong dolyar. Ipinapalagay ng modelo na ang presyo ng stock ay sumusunod sa isang random na paglalakad na may pare-parehong pagkasumpungin, na walang mga dibidendo, at maaari kang makipagkalakal nang tuluy-tuloy nang walang gastos sa transaksyon. Sa pagsasagawa, ginagamit ito ng mga mangangalakal bilang benchmark — inilalagay nila ang kasalukuyang mga presyo sa merkado upang i-back-solve para sa 'implied volatility', ang pagtataya ng pinagkasunduan ng merkado kung magkano ang lilipat ng stock. Ang bawat options trader ay nanonood ng ipinahiwatig na pagkasumpungin dahil ito ay nagsasabi sa iyo kung ang mga opsyon ay mura o mahal na may kaugnayan sa kasaysayan. Kung mataas ang ipinahiwatig na pagkasumpungin, mas mahal ang mga opsyon; kung mababa, mas mababa ang halaga nila. Ang modelo ay may alam na mga limitasyon — minamaliit nito ang posibilidad ng matinding paggalaw sa merkado (fat tails) at masira para sa mga opsyon sa istilong Amerikano na maaaring gamitin nang maaga — ngunit nananatili itong unibersal na panimulang punto para sa lahat ng pagpepresyo ng mga opsyon at pamamahala sa panganib.
Calkulon makes complex calculations simple — built for students and everyday problem-solvers.
Pormula
▾
Presyo ng Tawag = S·N(d₁) − K·e^(−rT)·N(d₂)
Ilagay ang Presyo = K·e^(−rT)·N(−d₂) − S·N(−d₁)
d₁ = [ln(S/K) + (r + σ²/2)·T] / (σ·√T)
d₂ = d₁ − σ·√T
N(x) = karaniwang normal na pinagsama-samang function ng pamamahagiPaliwanag ng variable
▾
| Simbolo | Pangalan | Yunit | Paglalarawan |
|---|---|---|---|
| S | Kasalukuyang Presyo ng Stock | currency | Ang kasalukuyang halaga ng presyo ng stock, na nagsisilbing kritikal na parameter ng input sa pagkalkula ng black scholes at direktang nakakaimpluwensya sa laki at katumpakan ng nakalkulang resulta ng output |
| K | Presyo ng strike | currency | Ang halaga ng strike price, na nagsisilbing kritikal na parameter ng input sa pagkalkula ng black scholes at direktang nakakaimpluwensya sa laki at katumpakan ng nakalkulang resulta ng output |
| r | Rate na Walang Panganib | % per year | Ang risk-free rate value, na nagsisilbing kritikal na parameter ng input sa pagkalkula ng black scholes at direktang nakakaimpluwensya sa magnitude at katumpakan ng nakalkulang resulta ng output |
| T | Oras para Mag-expire | years | Oras na natitira hanggang sa mag-expire ang opsyon, na ipinahayag sa mga taon (hal., 90 araw = 0.247 taon) |
| σ | Pagkasumpungin | % per year | Annualized standard deviation ng mga log-return ng stock; kritikal at tanging hindi napapansing input ng modelo |
Paano Black-Scholes Option Pricing
▾
- 1Ipunin ang limang input: kasalukuyang presyo ng stock (S), strike price (K), risk-free rate (r), oras para mag-expire sa mga taon (T), at inaasahang volatility (σ).
- 2Kalkulahin ang d₁: kinukunan nito kung gaano kalayo ang in-the-money na opsyon, isinaayos para sa oras at pagkasumpungin.
- 3Kalkulahin ang d₂ = d₁ − σ√T: ito ay d₁ inaayos pababa para sa kawalan ng katiyakan ng landas ng stock.
- 4Hanapin ang N(d₁) at N(d₂) mula sa karaniwang normal na distribusyon — ang mga ito ay kumakatawan sa mga probabilidad ng opsyon na mag-expire nang in-the-money.
- 5Para sa isang tawag: i-multiply ang presyo ng stock sa N(d₁) pagkatapos ay ibawas ang may diskwentong strike price na na-multiply sa N(d₂).
- 6Para sa isang put: gumamit ng put-call parity o ang direct put formula. Put = Tawag − S + K·e^(−rT).
- 7Ihambing ang presyo ng modelo sa presyo ng merkado; kung magkaiba sila, ang pagkakaiba ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng ibang palagay ng pagkasumpungin — na ang ipinahiwatig na pagkasumpungin ay ang tunay na signal ng merkado.
Mga Nalutas na Halimbawa
▾
Ang mga pagpipilian sa at-the-money (S=K) ay ang pinakakaraniwang kinakalakal; ang kanilang presyo ay pinakasensitibo sa mga pagbabago sa pagkasumpungin.
Sa stock na eksakto sa strike price, ang opsyon ay walang intrinsic na halaga — lahat ng $10.45 ay time value. Halos kalahati ng premium ay nagmumula sa potensyal para sa stock na tumaas nang higit sa $100, at ang bahagi ng rate ng interes (time value ng pera) ay nagbibigay ng maliit na diskwento sa strike.
Ang mataas na pagkasumpungin ay nagpapalaki nang husto sa mga presyo ng opsyon na wala sa pera — ang stock ay may 6 na buwan upang mag-rally ng 25%.
Sa kabila ng pagiging 20% out-of-the-money, ang opsyon ay may makabuluhang halaga dahil sa mataas na implied volatility (40%) at 6 na buwang natitira. Ang 40% annualized volatility ay nangangahulugan ng humigit-kumulang ±25% na mga galaw sa loob ng 6 na buwan ay nasa loob ng isang standard deviation, na ginagawang posible ang rally sa $100.
Ang deep in-the-money put ay may presyong malapit sa intrinsic na halaga (K−S=$30) na may maliit na time premium.
Ang put ay nagkakahalaga ng halos buong intrinsic na halaga nito na $30 dahil malayo ito sa pera. Ang maliit na diskwento mula sa $30 ay sumasalamin sa walang panganib na interes na nakuha sa pamamagitan ng paghihintay (maaari mong paikliin ang stock at i-invest ang $100 sa 3%). Ang premium ng oras ay maliit dahil may kaunting kawalan ng katiyakan kung mag-e-expire ang ilagay na ito sa pera.
Ginagamit ng mga mangangalakal ang Black-Scholes nang baligtad upang kunin ang forecast ng volatility ng merkado mula sa mga presyo ng opsyon.
Kapag ang presyo ng modelo sa 20% volatility ay $5.50 lamang ngunit ang market trades sa $8.00, ang market ay nagpapahiwatig ng mas mataas na volatility — humigit-kumulang 28.5%. Ang ipinahiwatig na pagkasumpungin na ito ay ang tunay na signal: sinasabi nito sa iyo na inaasahan ng merkado ang mas malaki kaysa sa average na mga galaw. Inihambing ng mga mangangalakal ang ipinahiwatig na pagkasumpungin sa makasaysayang pagkasumpungin upang magpasya kung ang mga opsyon ay mura o mahal.
Mga praktikal na gamit
▾
Equity sa pagpepresyo, index, at mga opsyon sa ETF sa mga palitan sa buong mundo, na nagbibigay-daan sa mga practitioner na gumawa ng may kaalamang dami ng mga desisyon batay sa mga validated computational na pamamaraan at industry-standard na diskarte, na nangangailangan ng tumpak na quantitative analysis upang suportahan ang mga desisyon na batay sa ebidensya, strategic resource allocation, at performance optimization sa iba't ibang konteksto ng organisasyon at propesyonal na disiplina.
Pagpapahalaga sa mga opsyon sa stock ng empleyado para sa pag-uulat sa pananalapi (ASC 718 / IFRS 2), na tumutulong sa mga analyst na makagawa ng mga tumpak na resulta na sumusuporta sa strategic planning, resource allocation, at performance benchmarking sa mga organisasyon, kung saan ang tumpak na numerical computation ay mahalaga para sa paggawa ng mga mapagkakatiwalaang output na nagbibigay-alam sa pagpaplano, pagsusuri, at patuloy na mga proseso ng pagpapabuti sa parehong corporate at indibidwal na mga setting
Kinukuha ang ipinahiwatig na pagkasumpungin upang bumuo ng VIX index at iba pang mga vol benchmark, na nagbibigay-daan sa mga propesyonal na sistematikong tukuyin ang mga resulta at paghambingin ang mga senaryo gamit ang maaasahang mathematical frameworks at itinatag na mga formula, humihingi ng mga sistematikong pamamaraan sa pagkalkula na nagsasalin ng raw input data sa mga naaaksyunan na insight para sa mga stakeholder na umaasa sa quantitative na aktibidad ng kanilang pang-araw-araw na propesyonal na aktibidad.
Hedging option book gamit ang delta, gamma, at vega na kinakalkula mula sa modelo, na sumusuporta sa mga proseso ng pagsusuri na hinihimok ng data kung saan ang katumpakan ng numero ay mahalaga para sa pagsunod, pag-uulat, at mga layunin sa pag-optimize, na nangangailangan ng matatag na mga pamamaraan ng computational na naghahatid ng pare-pareho at nabe-verify na mga resulta na angkop para sa pag-uulat, pag-audit, at pangmatagalang pagsusuri sa trend sa mga propesyonal na kapaligiran
Mga espesyal na kaso
▾
Mga stock na nagbabayad ng dividend
Binabalewala ng karaniwang modelo ang mga dibidendo. Para sa mga stock na nagbabayad ng mga kilalang dibidendo, ibawas ang kasalukuyang halaga ng inaasahang mga dibidendo mula sa kasalukuyang presyo ng stock bago ilapat ang formula. Para sa tuluy-tuloy na ani ng dibidendo (karaniwan para sa mga opsyon sa index), palitan ang S ng S·e^(−qT) kung saan ang q ay ang tuloy-tuloy na ani ng dibidendo — ito ang extension ng Merton (1973).
Napakaikli o napakatagal na pag-expire
Malapit na mag-expire (mga araw), ang modelo ay maaaring makagawa ng mga hindi tumpak na resulta kung ang stock ay malapit na sa strike — ang probability function ay nagiging napakasensitibo sa maliliit na pagbabago sa input. Para sa napakatagal na panahon na mga opsyon (LEAPS, 2+ na taon), ang kawalan ng katiyakan sa rate ng interes at mga tendensya ng mean-reversion ay nagiging hindi makatotohanan ang mga patuloy na pagpapalagay sa volatility.
Binary at mga pagpipilian sa hadlang
Ang Black-Scholes sa karaniwang anyo nito ay hindi nagpepresyo ng mga kakaibang opsyon tulad ng mga hadlang (mga opsyon na nag-a-activate o nagde-deactivate sa isang threshold ng presyo) o mga binary (nakapirming kabayaran kung natutugunan ang kundisyon). Nangangailangan ang mga ito ng mga binagong formula o numerical na pamamaraan, kahit na lumilitaw ang mga bloke ng gusali ng Black-Scholes sa kanilang derivation.
Tinatayang Mga Presyo ng Opsyon sa Tawag — S=$100, r=4%, T=0.5yr
▾
| Hampas (K) | σ=15% | σ=25% | σ=35% | σ=50% |
|---|---|---|---|---|
| $80 (malalim na ITM) | $21.50 | $22.60 | $24.10 | $26.80 |
| $95 (slight ITM) | $7.80 | $9.90 | $12.10 | $15.30 |
| $100 (ATM) | $4.30 | $7.10 | $9.80 | $13.50 |
| $105 (medyo OTM) | $2.00 | $4.90 | $7.60 | $11.40 |
| $120 (malalim na OTM) | $0.10 | $1.20 | $3.20 | $7.00 |
Mga madalas itanong
▾
Ano ang ipinahiwatig na pagkasumpungin at bakit ito mahalaga?
Ang implied volatility (IV) ay ang volatility value na, kapag nakasaksak sa Black-Scholes formula, ay naglalabas ng kasalukuyang presyo sa merkado ng opsyon. Kinakatawan nito ang pagtataya ng pinagkasunduan ng merkado sa paggalaw ng presyo sa hinaharap. Kapag mataas ang IV, mahal ang mga opsyon — nangangamba ang merkado sa malalaking paggalaw. Kapag mababa ang IV, mura ang mga opsyon. Inihahambing ng mga mangangalakal ang kasalukuyang IV sa makasaysayang pagkasumpungin upang makahanap ng mga opsyon na sobrang mahal o kulang sa presyo. Ang VIX index, madalas na tinatawag na 'fear gauge,' ay ang ipinahiwatig na pagkasumpungin ng mga opsyon sa S&P 500.
Bakit hindi eksaktong mapresyuhan ng Black-Scholes ang mga opsyon sa Amerika?
Maaaring gamitin ang mga opsyon sa Amerika anumang oras bago mag-expire, na lumilikha ng maagang premium na ehersisyo na hindi makukuha ng Black-Scholes gamit ang closed-form na formula nito. Para sa mga tawag sa Amerika sa mga stock na hindi nagbabayad ng dividend, hindi kailanman pinakamainam ang maagang pag-eehersisyo (mas mainam na ibenta mo ang opsyon), kaya eksakto ang presyo ng tawag sa Black-Scholes. Para sa paglalagay at pagtawag ng mga Amerikano sa mga stock na nagbabayad ng dibidendo, gumagamit ang mga practitioner ng mga binomial tree (modelo ng Cox-Ross-Rubinstein) o mga numerical na pamamaraan tulad ng mga finite difference scheme.
Ano ang volatility smile at bakit ito nangyayari?
Kung ang Black-Scholes ay ganap na tama, ang ipinahiwatig na pagkasumpungin ay magiging pare-pareho sa lahat ng presyo ng strike. Sa pagsasagawa, ang out-of-the-money ay naglalagay ng (crash insurance) na kalakalan sa mas mataas na ipinahiwatig na mga volatility kaysa sa mga opsyon sa pera, at ang mga out-of-the-money na tawag kung minsan ay nagpapakita rin ng mataas na IV. Ang pattern na ito — tinatawag na volatility smile o skew — ay sumasalamin sa takot ng mga kalahok sa merkado sa mga kaganapan sa buntot na minaliit ng Black-Scholes. Ito ay lumitaw nang kitang-kita pagkatapos ng 1987 stock market crash.
Ano ang sinasabi sa akin ng delta tungkol sa isang opsyon?
Sinasabi sa iyo ng Delta (∂V/∂S) kung gaano kalaki ang pagbabago sa presyo ng opsyon para sa $1 na paglipat sa stock. Ang delta na 0.60 ay nangangahulugan na ang presyo ng opsyon ay tumaas ng $0.60 kapag ang stock ay tumaas ng $1. Tinatantya din ng Delta ang posibilidad na mag-expire ang opsyon nang in-the-money: ang isang 0.60 delta na tawag ay may humigit-kumulang 60% na pagkakataong mag-expire nang in-the-money. Gumagamit ang mga mangangalakal ng delta para sa hedging: upang maging 'delta-neutral,' hawak mo ang mga bahagi sa proporsyon sa delta ng opsyon upang mabawi ang pagkakalantad sa direksyon.
Paano nakakaapekto ang time decay (theta) sa halaga ng opsyon?
Nawawalan ng halaga ang mga opsyon habang lumalapit ang expiry — ang erosyon na ito ay tinatawag na time decay o theta. Lahat ng iba ay pantay, ang isang opsyon ay nawawalan ng halaga araw-araw sa paglipas ng panahon. Ang mga opsyon sa at-the-money ay may pinakamataas na oras ng pagkabulok sa ganap na mga termino; Ang mga deep in-the-money o malayong out-of-the-money na mga opsyon ay may mas mababang theta. Ito ang dahilan kung bakit ang pagbili ng mga opsyon ay nangangailangan ng stock na gumalaw nang sapat upang mabawi ang patuloy na pagguho ng halaga ng oras — ang mga mamimili ng opsyon ay lumalaban sa pagkabulok ng oras araw-araw na humahawak sila sa isang posisyon.
Maaari bang gamitin ang Black-Scholes para sa mga pagpipilian sa cryptocurrency?
Oo, may mga makabuluhang caveat. Maaaring presyohan ng Black-Scholes ang mga opsyon sa crypto kung maglalagay ka ng naaangkop na ipinahiwatig na pagkasumpungin. Ang mga pagpipilian sa Bitcoin ay nangangalakal sa Deribit at CME na may IV na kadalasang nasa 50–150% — mas mataas kaysa sa mga equity market. Ang patuloy na palagay ng pagkasumpungin ng modelo ay higit na nilabag para sa crypto, kung saan ang mismong volatility ay lubhang pabagu-bago (madalas na tinatawag na 'vol of vol'). Ang mga mas sopistikadong modelo tulad ng SABR o Heston, na nagpapahintulot sa stochastic volatility, ay mas angkop para sa tumpak na pagpepresyo ng opsyon sa crypto.
Sino si Fischer Black at bakit hindi siya isang Nobel laureate?
Si Fischer Black ay isang inilapat na mathematician at financial economist na kasamang bumuo ng modelo kasama si Myron Scholes. Nagtrabaho siya sa Goldman Sachs na nag-aaplay ng modelo sa pagsasanay. Ang Nobel Prize sa Economics ay iginawad noong 1997 kina Scholes at Robert Merton para sa kanilang trabaho sa pamamaraan ng pagpepresyo ng opsyon. Si Fischer Black ay namatay sa kanser sa lalamunan noong Agosto 1995 — dalawang taon bago ang parangal. Ang Nobel Prize ay hindi iginawad sa posthumously, kaya ang Black ay tahasang kinilala ngunit hindi matanggap ang premyo.
Mga Karaniwang Mali na Dapat Iwasan
▾
- !Direktang paggamit ng historical volatility — ang modelo ay dapat gumamit ng implied volatility o isang forward-looking estimate, hindi ang nakaraan. Ang paggamit ng kamakailang makasaysayang vol ay maaaring mag-underprice ng mga opsyon bago ang mga pabagu-bagong kaganapan tulad ng mga kita.
- !Ang pag-plug sa oras sa mga araw nang hindi nagko-convert sa mga taon — T dapat nasa taon (mga araw/365 o araw/252 para sa mga araw ng kalakalan).
- !Ang pagwawalang-bahala sa mga dibidendo para sa mga stock na nagbabayad ng dibidendo — ang pagtanggal sa pagsasaayos ng dibidendo ay makabuluhang nagpapasobrang halaga sa mga tawag at ang mga undervalue ay naglalagay sa mga nagbabayad ng dibidendo malapit sa ex-date.
- !Tinatrato ang output ng modelo bilang 'tamang' presyo sa merkado — ang modelo ay isang benchmark; ang mga tunay na opsyon ay nangangalakal sa mga presyo na tinutukoy ng supply at demand at pagkatubig.
Pro Tip
Kapag naghahambing ng mga opsyon sa mga strike o maturity, ihambing ang ipinahiwatig na pagkasumpungin sa halip na mga presyo ng opsyon. Ang isang opsyon ay maaaring magmukhang mura sa mga tuntunin ng dolyar ngunit mahal sa mga tuntunin ng pagkasumpungin. Palaging mag-normalize sa pamamagitan ng pagtingin sa IV surface — ang 3D na mapa ng ipinahiwatig na pagkasumpungin sa mga strike at maturity — upang matukoy ang mga pagkakataong may kaugnayan sa halaga.
Alam mo ba?
Ang modelong Black-Scholes ay nagbigay-daan sa Chicago Board Options Exchange (CBOE) na magbukas noong Abril 1973 — literal sa parehong buwan na nai-publish ang papel. Sa loob ng sampung taon, ang dami ng options trading ay sumabog mula sa libo-libo hanggang sa milyon-milyong mga kontrata kada araw. Napaka-epekto ng formula kung kaya't gumawa ang Texas Instruments ng isang espesyal na pocket calculator na na-pre-program gamit ang Black-Scholes sa ilang sandali pagkatapos ng publikasyon.
Regional Guides
▾
🇺🇸 US▾
🇬🇧 UK▾
🇪🇺 EU▾
Mga Sanggunian
Ratings & comments
Kumuha ng Lingguhang Mga Tip sa Math
Sumali sa 12,000+ subscriber na nakakakuha ng mga tip sa calculator bawat linggo.