Nedir Black-Scholes Option Pricing?
▾
Black-Scholes modeli, Avrupa tarzı bir seçeneğin adil fiyatını hesaplar; bu, size belirli bir gelecek tarihte sabit bir fiyattan bir hisse senedini satın alma (alma) veya satma (satma) hakkını veren ancak bunu zorunlu kılmayan bir sözleşmedir. 1973'ten önce opsiyonlar sezgi ve müzakere yoluyla fiyatlandırılıyordu. Fischer Black ve Myron Scholes, opsiyon fiyatlandırmasını beş gözlemlenebilir girdiye dayalı matematiksel bir kesinlik olarak ele alan tek bir denklemle her şeyi değiştirdiler. Robert Merton'un incelikleriyle birlikte bu çalışma, Scholes ve Merton'a 1997 Nobel Ekonomi Ödülü'nü kazandırdı ve yüz trilyonlarca dolar değerinde modern türev piyasasını doğurdu. Model, hisse senedi fiyatının sabit volatiliteyle rastgele bir yürüyüş izlediğini, temettü olmadığını ve işlem maliyeti olmadan sürekli ticaret yapabileceğinizi varsayar. Uygulamada, tüccarlar bunu bir ölçüt olarak kullanıyorlar; piyasanın hisse senedinin ne kadar hareket edeceğine dair fikir birliği tahmini olan 'ima edilen oynaklığı' geriye doğru çözmek için mevcut piyasa fiyatlarını giriyorlar. Her opsiyon tüccarının izlediği, volatiliteyi ima eder çünkü size opsiyonların tarihe göre ucuz mu yoksa pahalı mı olduğunu söyler. Eğer ima edilen volatilite yüksekse opsiyonların maliyeti daha yüksektir; düşükse maliyeti daha azdır. Modelin bilinen sınırlamaları var - aşırı piyasa hareketlerinin (kalın kuyruklar) olasılığını hafife alıyor ve erken uygulanabilecek Amerikan tarzı opsiyonlar için ayrılıyor - ancak tüm opsiyon fiyatlandırması ve risk yönetimi için evrensel başlangıç noktası olmaya devam ediyor.
Calkulon makes complex calculations simple — built for students and everyday problem-solvers.
Formül
▾
Alış Fiyatı = S·N(d₁) − K·e^(−rT)·N(d₂)
Satış Fiyatı = K·e^(−rT)·N(−d₂) − S·N(−d₁)
d₁ = [ln(S/K) + (r + σ²/2)·T] / (σ·√T)
d₂ = d₁ − σ·√T
N(x) = standart normal kümülatif dağılım fonksiyonuDeğişken açıklaması
▾
| Sembol | Ad | Birim | Açıklama |
|---|---|---|---|
| S | Güncel Hisse Fiyatı | currency | Black Scholes hesaplamasında kritik bir girdi parametresi olarak görev yapan ve hesaplanan çıktı sonucunun büyüklüğünü ve doğruluğunu doğrudan etkileyen mevcut hisse senedi fiyatı değeri |
| K | Kullanım Fiyatı | currency | Black Scholes hesaplamasında kritik bir girdi parametresi olarak görev yapan ve hesaplanan çıktı sonucunun büyüklüğünü ve doğruluğunu doğrudan etkileyen kullanım fiyatı değeri |
| r | Risksiz Oran | % per year | Blackholes hesaplamasında kritik bir girdi parametresi olarak görev yapan ve hesaplanan çıktı sonucunun büyüklüğünü ve doğruluğunu doğrudan etkileyen risksiz oran değeri |
| T | Sona Erme Süresi | years | Yıl olarak ifade edilen, opsiyonun vadesinin dolmasına kalan süre (örn. 90 gün = 0,247 yıl) |
| σ | Volatilite | % per year | Hisse senedinin log getirilerinin yıllık standart sapması; modelin kritik ve tek gözlemlenemeyen girdisi |
Nasıl Black-Scholes Option Pricing
▾
- 1Beş girdiyi toplayın: mevcut hisse senedi fiyatı (S), kullanım fiyatı (K), risksiz faiz oranı (r), yıl cinsinden vadenin dolmasına kadar geçen süre (T) ve beklenen oynaklık (σ).
- 2D₁'yi hesaplayın: Bu, zamana ve volatiliteye göre ayarlanarak seçeneğin ne kadar kârda olduğunu yakalar.
- 3d₂ = d₁ − σ√T'yi hesaplayın: bu, hisse senedinin yolunun belirsizliği için d₁'nin aşağıya doğru ayarlanmasıdır.
- 4Standart normal dağılımdan N(d₁) ve N(d₂)'ye bakın; bunlar, opsiyonun vadesinin kârda dolması olasılıklarını temsil eder.
- 5Bir alım için: hisse senedi fiyatını N(d₁) ile çarpın, ardından indirimli kullanım fiyatının N(d₂) ile çarpımından çıkarın.
- 6Satım için: put-call paritesini veya doğrudan satım formülünü kullanın. Koy = Çağrı − S + K·e^(−rT).
- 7Model fiyatını piyasa fiyatıyla karşılaştırın; Farklı olmaları durumunda, fark farklı bir oynaklık varsayımıyla açıklanır; yani ima edilen oynaklık piyasanın gerçek sinyalidir.
Çözümlü Örnekler
▾
Zararda opsiyonlar (S=K) en yaygın olarak işlem görenlerdir; fiyatları volatilite değişikliklerine karşı en duyarlı olanıdır.
Hisse senedi tam olarak kullanım fiyatında olduğundan, seçeneğin gerçek bir değeri yoktur; 10,45 doların tamamı zaman değeridir. Primin yaklaşık yarısı hisse senedinin 100 doların üzerine çıkma potansiyelinden geliyor ve faiz oranı bileşeni (paranın zaman değeri) grevde küçük bir indirime neden oluyor.
Yüksek oynaklık, nakit dışı opsiyon fiyatlarını önemli ölçüde artırıyor; hisse senedinin %25'lik bir yükselişe geçmesi için 6 ayı var.
Opsiyonun kâr oranı %20 olmasına rağmen yüksek volatilite (%40) ve kalan 6 ay nedeniyle anlamlı bir değere sahip. Yıllık %40'lık volatilite, 6 aydaki kabaca %±25'lik hareketlerin bir standart sapma dahilinde olduğu anlamına gelir ve bu da 100 dolara doğru bir yükselişi makul kılar.
Derin kârda satışlar, küçük bir zaman primiyle birlikte gerçek değere yakın bir fiyata (K−S=30$) sahiptir.
Put, şu ana kadar kârda olduğu için neredeyse gerçek değeri olan 30 $ değerinde. 30$'dan başlayan küçük indirim, bekleyerek kazanılan risksiz faizi yansıtır (alternatif olarak hisse senedinde açığa satış yapabilir ve 100$'ı %3 ile yatırabilirsiniz). Zaman primi küçüktür çünkü bu satımın para açısından süresinin dop dolmayacağı konusunda çok az belirsizlik vardır.
Yatırımcılar piyasanın oynaklık tahminini opsiyon fiyatlarından çıkarmak için Black-Scholes'u tersten kullanıyor.
%20 volatilitedeki model fiyatı sadece 5,50$ iken piyasa 8,00$'dan işlem görüyorsa, piyasa daha yüksek bir volatiliteye işaret ediyor demektir; yaklaşık %28,5. Bu ima edilen oynaklık gerçek sinyaldir: size piyasanın ortalamanın üzerinde hareketler beklediğini söyler. Yatırımcılar, seçeneklerin ucuz mu yoksa pahalı mı olduğuna karar vermek için ima edilen oynaklığı tarihsel oynaklıkla karşılaştırır.
Gerçek dünya uygulamaları
▾
Dünya çapında borsalarda eşitlik, endeks ve ETF seçeneklerinin fiyatlandırılması, uygulayıcıların doğrulanmış hesaplama yöntemlerine ve endüstri standardı yaklaşımlara dayalı olarak iyi bilgilendirilmiş niceliksel kararlar almasına olanak tanır; bu, kanıta dayalı kararları, stratejik kaynak tahsisini ve çeşitli organizasyonel bağlamlar ve profesyonel disiplinler genelinde performans optimizasyonunu desteklemek için hassas niceliksel analiz gerektirir.
Finansal raporlama için çalışan hisse senedi seçeneklerine değer verilmesi (ASC 718 / IFRS 2), analistlerin, hem kurumsal hem de bireysel ortamlarda planlama, değerlendirme ve sürekli iyileştirme süreçlerine bilgi sağlayan güvenilir çıktılar üretmek için doğru sayısal hesaplamanın gerekli olduğu kuruluşlar genelinde stratejik planlamayı, kaynak tahsisini ve performans kıyaslamasını destekleyen doğru sonuçlar üretmesine yardımcı olmak
VIX endeksini ve diğer hacim kıyaslamalarını oluşturmak için zımni volatilitenin çıkarılması, profesyonellerin sonuçları sistematik olarak ölçmesine ve senaryoları güvenilir matematiksel çerçeveler ve yerleşik formüller kullanarak karşılaştırmasına olanak tanıyarak, günlük profesyonel faaliyetlerinde niceliksel titizliğe bağlı olan paydaşlar için ham girdi verilerini eyleme geçirilebilir içgörülere dönüştüren sistematik hesaplama yaklaşımları talep eder.
Modelden hesaplanan delta, gamma ve vega'yı kullanan riskten korunma opsiyon kitapları; uyumluluk, raporlama ve optimizasyon hedefleri için sayısal hassasiyetin gerekli olduğu veriye dayalı değerlendirme süreçlerini destekler; profesyonel ortamlarda raporlama, denetim ve uzun vadeli trend analizi için uygun tutarlı ve doğrulanabilir sonuçlar sunan sağlam hesaplama yöntemleri gerektirir
Özel durumlar
▾
Temettü ödeyen hisse senetleri
Standart model temettüleri dikkate almaz. Bilinen temettü ödeyen hisse senetleri için, formülü uygulamadan önce beklenen temettülerin bugünkü değerini mevcut hisse senedi fiyatından çıkarın. Sürekli temettü getirisi için (endeks opsiyonları için ortaktır), S'yi S·e^(−qT) ile değiştirin; burada q, sürekli temettü getirisidir - bu Merton (1973) uzantısıdır.
Çok kısa veya çok uzun vade
Vade sonuna yaklaşıldığında (günler), hisse senedinin vuruşa yakın olması durumunda model hatalı sonuçlar üretebilir; olasılık fonksiyonu küçük girdi değişikliklerine karşı çok duyarlı hale gelir. Çok uzun vadeli opsiyonlar için (LEAPS, 2+ yıl), faiz oranı belirsizliği ve ortalamaya dönüş eğilimleri, sürekli oynaklık varsayımlarını giderek gerçekçi olmaktan çıkarıyor.
İkili ve bariyer seçenekleri
Black-Scholes standart formunda bariyerler (belirli bir fiyat eşiğinde etkinleştirilen veya devre dışı bırakılan seçenekler) veya ikili opsiyonlar (koşul yerine getirildiğinde sabit getiri) gibi egzotik seçenekleri fiyatlandırmaz. Bunların türetilmesinde Black-Scholes yapı taşları görünse de, bunlar değiştirilmiş formüller veya sayısal yöntemler gerektirir.
Yaklaşık Alım Opsiyonu Fiyatları — S=100$, r=%4, T=0,5 yıl
▾
| Vuruş (K) | σ=%15 | σ=%25 | σ=%35 | σ=%50 |
|---|---|---|---|---|
| 80$ (derin ITM) | 21,50$ | 22,60$ | 24,10$ | 26,80$ |
| 95$ (hafif ITM) | 7,80$ | 9,90$ | 12,10$ | 15,30$ |
| 100$ (ATM) | 4,30$ | 7,10$ | 9,80$ | 13,50$ |
| 105$ (hafif OTM) | 2,00$ | 4,90$ | 7,60$ | 11,40$ |
| 120$ (derin OTM) | 0,10$ | 1,20$ | 3,20$ | 7,00$ |
Sık sorulan sorular
▾
Zımni oynaklık nedir ve neden önemlidir?
Zımni volatilite (IV), Black-Scholes formülüne bağlandığında opsiyonun mevcut piyasa fiyatını oluşturan volatilite değeridir. Gelecekteki fiyat hareketlerine ilişkin piyasanın fikir birliği tahminini temsil eder. IV yüksek olduğunda seçenekler pahalıdır; piyasa büyük hareketlerden korkar. IV düşük olduğunda seçenekler ucuzdur. Yatırımcılar aşırı fiyatlı veya düşük fiyatlı seçenekleri bulmak için mevcut IV'ü tarihsel oynaklıkla karşılaştırır. Genellikle 'korku göstergesi' olarak adlandırılan VIX endeksi, S&P 500 opsiyonlarının ima edilen oynaklığıdır.
Black-Scholes neden Amerikan opsiyonlarını tam olarak fiyatlayamıyor?
Amerikan opsiyonları vade dolmadan herhangi bir zamanda kullanılabilir, bu da Black-Scholes'un kapalı form formülüyle yakalayamayacağı bir erken kullanım primi yaratır. Temettü ödemesi yapmayan hisse senetlerine yönelik Amerikan alımları için, erken kullanım hiçbir zaman optimal değildir (seçeneği satsanız daha iyi olur), dolayısıyla Black-Scholes alım fiyatı kesindir. Amerikan temettü ödeyen hisse senetlerine yönelik satış ve alımlar için uygulayıcılar binom ağaçlarını (Cox-Ross-Rubinstein modeli) veya sonlu fark şemaları gibi sayısal yöntemleri kullanırlar.
Volatilite gülümsemesi nedir ve neden oluşur?
Black-Scholes tamamen haklı olsaydı, ima edilen dalgalanma tüm kullanım fiyatlarında sabit olurdu. Uygulamada, kârsız satış (çarpışma sigortası) ticareti, kârsız opsiyonlara göre daha yüksek zımni oynaklıklara sahiptir ve kârsız çağrılar bazen yüksek IV gösterir. Volatilite gülümsemesi veya çarpıklığı olarak adlandırılan bu model, piyasa katılımcılarının Black-Scholes'un hafife aldığı kuyruk olaylarından duyduğu korkuyu yansıtıyor. 1987 borsa çöküşünden sonra belirgin bir şekilde ortaya çıktı.
Delta bana bir seçenek hakkında ne söylüyor?
Delta (∂V/∂S), hisse senedindeki 1 dolarlık bir hamle için opsiyon fiyatının ne kadar değiştiğini gösterir. 0,60'lık bir delta, hisse senedi 1$ arttığında opsiyon fiyatının 0,60$ artması anlamına gelir. Delta aynı zamanda opsiyonun vadesinin kârda dolması olasılığını da yaklaşık olarak hesaplıyor: 0,60 deltalık bir çağrının kârda sona ermesi ihtimali kabaca %60'tır. Yatırımcılar deltayı riskten korunmak için kullanır: 'delta-nötr' olmak için, yönlü riskleri dengelemek amacıyla opsiyonun deltasıyla orantılı hisse tutarsınız.
Zaman kaybı (teta) opsiyon değerini nasıl etkiler?
Opsiyonların vadesi yaklaştıkça değer kaybeder; bu erozyona zaman kaybı veya teta denir. Geriye kalan her şey eşit olduğunda, bir opsiyon zaman geçtikçe her gün değer kaybeder. Zararda olan seçenekler mutlak anlamda en yüksek zaman kaybı oranına sahiptir; kârda olan veya kârda olmayan seçeneklerin tetası daha düşüktür. Bu nedenle satın alma opsiyonları, süregelen zaman değeri erozyonunu dengelemek için hisse senedinin yeterince hareket etmesini gerektirir; opsiyon alıcıları, pozisyon tuttukları her gün zaman kaybıyla mücadele eder.
Black-Scholes kripto para birimi opsiyonlarında kullanılabilir mi?
Evet, önemli uyarılarla birlikte. Uygun zımni volatiliteyi girerseniz Black-Scholes kripto seçeneklerini fiyatlandırabilir. Deribit ve CME'de Bitcoin opsiyon ticareti, IV ile genellikle %50-150 arasında değişmektedir; bu, hisse senedi piyasalarından çok daha yüksektir. Modelin sabit volatilite varsayımı, volatilitenin oldukça değişken olduğu (genellikle 'vol of vol' olarak adlandırılan) kripto için daha da fazla ihlal edilmektedir. Stokastik oynaklığa izin veren SABR veya Heston gibi daha karmaşık modeller, doğru kripto opsiyon fiyatlandırması için daha uygundur.
Fischer Black kimdi ve neden Nobel ödüllü değil?
Fischer Black, modeli Myron Scholes ile birlikte geliştiren uygulamalı bir matematikçi ve finansal ekonomistti. Modeli pratikte uygulayan Goldman Sachs'ta çalıştı. Nobel Ekonomi Ödülü, 1997 yılında opsiyon fiyatlama metodolojisi konusundaki çalışmaları nedeniyle Scholes ve Robert Merton'a verildi. Fischer Black, ödülden iki yıl önce, Ağustos 1995'te gırtlak kanserinden ölmüştü. Nobel Ödülü ölümünden sonra verilmediğinden Siyah açıkça tanındı ancak ödülü alamadı.
Kaçınılması Gereken Yaygın Hatalar
▾
- !Doğrudan tarihsel oynaklığın kullanılması: Model, geçmişi değil, zımni oynaklığı veya ileriye dönük bir tahmini kullanmalıdır. Yakın geçmişe ait hacimlerin kullanılması, kazançlar gibi değişken olaylar öncesinde seçeneklerin fiyatını düşürebilir.
- !Yıla dönüştürmeden zamanı gün cinsinden takmak — T, yıl cinsinden olmalıdır (işlem günleri için gün/365 veya gün/252).
- !Temettü ödeyen hisse senetleri için temettülerin göz ardı edilmesi - temettü ayarlamasının atlanması, alımların önemli ölçüde aşırı değerlenmesine ve son tarihe yakın temettü ödeyenlerin üzerine düşen değerlerin düşük olmasına neden olur.
- !Model çıktısını 'doğru' piyasa fiyatı olarak ele almak — model bir referans noktasıdır; Arz, talep ve likiditeye göre belirlenen fiyatlarda gerçek opsiyon ticareti.
Uzman İpucu
Opsiyonları kullanım veya vadelere göre karşılaştırırken, opsiyon fiyatlarından ziyade zımni oynaklığı karşılaştırın. Bir opsiyon dolar cinsinden ucuz görünebilir ancak oynaklık açısından pahalı görünebilir. Göreceli değer fırsatlarını belirlemek için daima IV yüzeyine (grevler ve vadeler genelinde ima edilen oynaklığın 3 boyutlu haritası) bakarak normalleştirin.
Biliyor muydunuz?
Black-Scholes modeli, Chicago Board Options Exchange'in (CBOE) Nisan 1973'te - kelimenin tam anlamıyla makalenin yayınlandığı ay - açılmasını sağladı. On yıl içinde opsiyon ticaret hacmi günde binlerce sözleşmeden milyonlarca sözleşmeye yükseldi. Formül o kadar etkili oldu ki Texas Instruments, yayınlandıktan kısa bir süre sonra Black-Scholes ile önceden programlanmış özel bir cep hesap makinesi üretti.
Regional Guides
▾
🇺🇸 US▾
🇬🇧 UK▾
🇪🇺 EU▾
Kaynaklar
Ratings & comments
Haftalık Matematik İpuçları Alın
Her hafta hesap makinesi ipuçları alan 12.000+ aboneye katılın.