GCD ve LCM, kesirleri basitleştirmede, denklem çözmede ve planlama problemlerinde kullanılan temel sayı teorisi kavramlarıdır. Burada her yöntem açıkça açıklanmıştır.
Tanımlar
GCD (En Büyük Ortak Bölen) — aynı zamanda GCF (En Büyük Ortak Faktör) veya HCF (En Yüksek Ortak Faktör) olarak da bilinir — her iki sayıyı da kalansız bölen en büyük pozitif tam sayıdır.
LCM (En Küçük Ortak Kat) her iki sayıya da bölünebilen en küçük pozitif tam sayıdır.
GCD(a, b) × LCM(a, b) = a × b
Bu ilişki, birini bulduğunuzda diğerini hesaplayabileceğiniz anlamına gelir:
LCM(a, b) = (a × b) ÷ GCD(a, b)
Yöntem 1: Asal çarpanlara ayırma
En iyisi: Anlama, daha küçük sayılar, aynı anda birden fazla sayı.
GCD için adımlar:
- Her sayıyı asal çarpanlarına ayırın
- Ortak asal çarpanları bulun
- Ortak çarpanların en düşük kuvvetlerini çarpın
LCM için adımlar:
- Her sayıyı asal çarpanlarına ayırın
- Tüm asal faktörlerin en yüksek kuvvetlerini çarpın
Örnek: 36 ve 48'in GCD ve LCM'si
Asal çarpanlara ayırma:
- 36 = 2² × 3²
- 48 = 2⁴ × 3
BEB: Ortak çarpanlar 2 ve 3'tür. En düşük kuvvetleri alın:
- OBE = 2² × 3¹ = 4 × 3 = 12
LCM: Tüm faktörler. En yüksek yetkileri alın:
- LCM = 2⁴ × 3² = 16 × 9 = 144
Doğrulayın: 36 × 48 = 1.728 = 12 × 144 ✓
Yöntem 2: Öklid Algoritması (GCD)
En iyisi: Daha büyük sayılar — çarpanlara ayırmadan çok daha hızlı.
Temel fikir: OBEB(a, b) = OBEB(b, a mod b), kalan 0 olana kadar tekrarlanıyor.
GCD(a, b):
while b ≠ 0:
r = a mod b
a = b
b = r
return a
Örnek: OBEB(252, 105)
| Adım | A | B | r = a mod b |
|---|---|---|---|
| 1 | 252 | 105 | 42 |
| 2 | 105 | 42 | 21 |
| 3 | 42 | 21 | 0 |
GCD = 21 (sıfır olmayan son kalan)
Örnek: GCD(1071, 462)
| Adım | A | B | R |
|---|---|---|---|
| 1 | 1071 | 462 | 147 |
| 2 | 462 | 147 | 21 |
| 3 | 147 | 21 | 0 |
GCD = 21
Yöntem 3: Bölme/Merdiven Yöntemi
Şunlar için en iyisi: Hem GCD'yi hem de LCM'yi aynı anda bulan görsel öğrenenler.
Her iki sayıyı da en küçük ortak asal çarpanlarına tekrar tekrar bölün:
Örnek: 12 ve 18'in GCD ve LCM'si
2 | 12 18
3 | 6 9
| 2 3
OBE = kullanılan bölenlerin çarpımı = 2 × 3 = 6 LCM = bölenlerin çarpımı × kalan sayılar = 2 × 3 × 2 × 3 = 36
İkiden Fazla Sayı için LCM
Örnek: LCM(4, 6, 10)
Asal çarpanlara ayırma:
- 4 = 2²
- 6 = 2 × 3 -10 = 2 × 5
Her asal sayının en büyük kuvvetini alın: 2² × 3 × 5 = 60
Doğrulayın: 60 ÷ 4 = 15 ✓, 60 ÷ 6 = 10 ✓, 60 ÷ 10 = 6 ✓
Gerçek Dünya Uygulamaları
Kesirlerin basitleştirilmesi: Pay ve paydayı OBE'lerine bölün.
- 24/36: OBB(24,36) = 12 → 24/36 = 2/3
Paydaları farklı olan kesirleri toplama: Paydaların LCM'sini bulun.
- 1/4 + 1/6: LCM(4,6) = 12 → 3/12 + 2/12 = 5/12
Zamanlama sorunları: "İki otobüs aynı anda kalkıyor. Biri 12 dakikada bir, diğeri 18 dakikada bir hareket ediyor. Tekrar ne zaman birlikte hareket ediyorlar?"
- LCM(12, 18) = 36 → her 36 dakikada bir
Kesme malzemeleri: "Bir tahta 36 cm, diğeri 48 cm. Her ikisinden de fire vermeden kesebileceğiniz eşit uzunlukta en uzun parça nedir?"
- OBEB(36, 48) = 12 cm
Hızlı Zihinsel Kontroller
GCD her zaman ≤ küçük sayıdır LCM her zaman ≥ büyük sayıdır Eğer GCD(a,b) = 1 ise sayılar aralarında asaldır — LCM(a,b) = a × b
Örnek: OBEB(7, 13) = 1 (her ikisi de asal, ortak çarpan yok) → LCM = 7 × 13 = 91