Standart sapma istatistiklerde en yaygın kullanılan yayılım ölçüsüdür. Verilerinizin sıkı bir şekilde kümelenmiş mi yoksa geniş bir alana dağılmış mı olduğunu size tipik bir değerin ortalamadan ne kadar uzakta olduğunu söyler. Hesaplamayı bir kez elle yaptığınızda konsept sezgisel hale gelir.
Standart Sapma Size Ne Anlatıyor?
Bir sınıftaki öğrencilerin ortalama sınav puanı 70 ve standart sapması 5 ise, çoğu puan 65 ile 75 arasındadır. Standart sapma 20 olsaydı, puanlar çok daha geniş bir aralıkta olurdu; 50'den 90'a ve üzeri.
Küçük bir standart sapma tutarlılık anlamına gelir. Büyük olan değişkenlik anlamına gelir.
Nüfus ve Örneklem Standart Sapması
İki versiyon vardır ve doğru olanı seçmek önemlidir:
Nüfus standart sapması (σ): Önemsediğiniz grubun her üyesi için veriye sahip olduğunuzda kullanın. n'ye bölünür.
Örnek standart sapması (s): Verileriniz daha büyük bir popülasyondan alınan bir örnek olduğunda kullanın. n − 1'e bölünür (örneklemenin getirdiği belirsizliği açıklayan Bessel düzeltmesi).
Uygulamada, tam bir nüfus sayımı veya eksik üyeleri olmayan kontrollü bir veri kümesini analiz etmediğiniz sürece neredeyse her zaman örnek standart sapmayı kullanırsınız.
Adım Adım Hesaplama
Veri kümesi: 4, 7, 13, 2, 1 (5 değerden oluşan bir örnek)
Adım 1: Ortalamayı hesaplayın
Mean (x̄) = (4 + 7 + 13 + 2 + 1) / 5 = 27 / 5 = 5.4
Adım 2: Ortalamadan her sapmayı bulun
Ortalamayı her değerden çıkarın:
| Değer (x) | Sapma (x − x̄) |
|---|---|
| 4 | 4 − 5,4 = −1,4 |
| 7 | 7 - 5,4 = +1,6 |
| 13 | 13 - 5,4 = +7,6 |
| 2 | 2 − 5,4 = −3,4 |
| 1 | 1 − 5,4 = −4,4 |
Adım 3: Her sapmanın karesini alın
Kare alma, olumsuz işaretleri ortadan kaldırır ve daha büyük sapmaları vurgular:
| Sapma | Kare sapma |
|---|---|
| −1,4 | 1.96 |
| +1.6 | 2.56 |
| +7.6 | 57.76 |
| −3,4 | 11.56 |
| −4,4 | 19.36 |
Adım 4: Sapmaların karelerini toplayın
Sum = 1.96 + 2.56 + 57.76 + 11.56 + 19.36 = 93.2
Adım 5: n − 1'e bölün (örnek standart sapması için)
Variance (s²) = 93.2 / (5 − 1) = 93.2 / 4 = 23.3
Adım 6: Karekökü alın
Standard deviation (s) = √23.3 = 4.83
Yorum: Bu veri kümesindeki değerler genellikle 5,4 ortalamasından yaklaşık 4,83 birim uzaktadır.
Formülün Yazılışı
Örnek standart sapma:
s = √[ Σ(x − x̄)² / (n − 1) ]
Nüfus standart sapması:
σ = √[ Σ(x − μ)² / n ]
μ (mu) popülasyon ortalamasıdır.
Ampirik Kural (68-95-99.7 Kuralı)
Normal bir dağılım izleyen veriler için standart sapmanın, her aralıktaki verilerin oranıyla güvenilir bir ilişkisi vardır:
| Menzil | Verilerin oranı |
|---|---|
| Ortalama ± 1 SD | ~%68 |
| Ortalama ± 2 SD | ~%95 |
| Ortalama ± 3 SD | ~%99,7 |
Uygulamalı örnek: IQ puanlarının ortalaması 100 ve SD'si 15'tir.
- İnsanların %68'i 85 ile 115 arasında puan alıyor
- 70 ile 130 arasında %95 puan
- 55 ile 145 arasında %99,7 puan
Bu kural yalnızca normal dağılıma sahip veriler için geçerlidir. Çarpık veya ağır kuyruklu dağılımlar için bunun yerine Chebyshev eşitsizliğini kullanın.
Varyans ve Standart Sapma
Varyans sapmanın karesidir (yukarıdaki 5. adım) — standart sapma bunun kare köküdür. Her ikisi de yayılmayı ölçer, ancak standart sapma orijinal verilerle aynı birimlerle ifade edilir, bu da onu daha yorumlanabilir hale getirir.
Verileriniz kilogram cinsindense standart sapmanız kilogram cinsindendir. Varyansınız kilogram kare cinsindendir ve bunu anlamlı bir şekilde yorumlamak daha zordur.
Ortak Uygulamalar
Finans: Yatırım oynaklığının ölçülmesi. Günlük getirisi yüksek SD'ye sahip bir hisse senedi daha değişkendir; daha yüksek potansiyel kazanç ve daha yüksek potansiyel kayıp.
Kalite kontrol: Üretim, ürünlerin tolerans dahilinde kalmasını sağlamak için SD kullanır. SD'nin çok büyük olduğu bir proses, çok fazla kusurlu ürün üretir.
Eğitim: Test puanlarının standartlaştırılması. Z-puanı, bir puanın ortalamanın kaç standart sapma üstünde veya altında olduğunu gösterir: z = (x − ortalama) / SD.
Bilim: Ölçüm belirsizliğini ifade etme ve deneysel sonuçları karşılaştırma.
Hesaplama Kısayolu
Büyük veri kümeleri için sapmaların ayrı ayrı hesaplanmasını önleyen hesaplama formülünü kullanın:
s² = [Σx² − (Σx)²/n] / (n − 1)
Bu matematiksel olarak eşdeğerdir ancak verilerden üç yerine yalnızca iki geçiş gerektirir.
Girdiğiniz herhangi bir veri kümesinin SD'sini, varyansını ve tam dökümünü hesaplamak için Standart Sapma Hesaplayıcımızı kullanın.