Varyans, bir sayı kümesinin ortalamalarına göre ne kadar yayıldığını ölçer. İstatistikteki en önemli kavramlardan biridir; finansta yatırım riskini ölçmek için, bilimde deneysel tutarlılığı değerlendirmek için ve günlük veri analizinde kullanılır.

Varyans Nedir?

Varyans, ortalamadan kare farkların ortalamasıdır. Düşük bir varyans, veri noktalarının ortalama etrafında sıkı bir şekilde kümelendiği anlamına gelir. Yüksek varyans, geniş çapta yayıldıkları anlamına gelir.

İki türü vardır:

  • Popülasyon farkı (σ²) — tüm popülasyona ilişkin verileriniz olduğunda kullanılır
  • Örnek farkı (s²) — verileriniz daha büyük bir popülasyondan alınan bir örnek olduğunda kullanılır

Uygulamada neredeyse her zaman örnek varyansını kullanacaksınız.

Varyans Formülü

Nüfus Varyansı

σ² = Σ(xᵢ - μ)² / N

Nerede:

  • xᵢ = her veri noktası
  • μ = popülasyon ortalaması
  • N = veri noktalarının sayısı

Örnek Varyans

s² = Σ(xᵢ - x̄)² / (n - 1)

Nerede:

  • x̄ = örnek ortalama
  • n - 1 = serbestlik derecesi (Bessel düzeltmesi)

Örnek varyansındaki CODE0, bir örneğin popülasyonun gerçek yayılımını eksik tahmin etme eğiliminde olduğu gerçeğini düzeltir.

Adım Adım Örnek

Veri kümesi: 4, 8, 6, 5, 3, 2, 8, 9, 2, 5

1. Adım: Ortalamayı hesaplayın

Mean = (4 + 8 + 6 + 5 + 3 + 2 + 8 + 9 + 2 + 5) / 10
     = 52 / 10
     = 5.2

2. Adım: Her değerden ortalamayı çıkarın ve sonucun karesini alın

Değer Değer – Ortalama (Değer – Ortalama)²
4 4 − 5,2 = −1,2 1.44
8 8 - 5,2 = 2,8 7.84
6 6 - 5,2 = 0,8 0.64
5 5 − 5,2 = −0,2 0.04
3 3 − 5,2 = −2,2 4.84
2 2 − 5,2 = −3,2 10.24
8 8 - 5,2 = 2,8 7.84
9 9 - 5,2 = 3,8 14.44
2 2 − 5,2 = −3,2 10.24
5 5 − 5,2 = −0,2 0.04

3. Adım: Kareleri alınmış farkları toplayın

Σ(xᵢ − x̄)² = 1.44 + 7.84 + 0.64 + 0.04 + 4.84 + 10.24 + 7.84 + 14.44 + 10.24 + 0.04
             = 57.6

4. Adım: n − 1'e bölün (örnek varyansı)

s² = 57.6 / (10 − 1) = 57.6 / 9 = 6.4

Örneklem varyansı 6,4'tür.

Varyans ve Standart Sapma

Standart sapma basitçe varyansın kareköküdür:

s = √s² = √6.4 ≈ 2.53

Standart sapma, orijinal verilerle aynı birimlerle ifade edildiğinden yorumlanmayı kolaylaştırır. Verileriniz kilogram cinsindense standart sapma kilogram cinsindendir. Varyans kilogram² cinsindendir. Standart sapmanın daha sık rapor edilmesinin nedeni budur; ancak varyans birçok istatistiksel hesaplamada kullanılır.

Popülasyon ve Örneklem: Her Biri Ne Zaman Kullanılmalı

Durum Kullanmak
Grubun her üyesine ait verileriniz var Nüfus varyansı (÷ N)
Verileriniz daha büyük bir gruptan bir örnektir Örneklem varyansı (÷ n − 1)
Diğer istatistiksel testlerle karşılaştırma Genellikle örnek varyansı
Veri kümeniz resmin tamamını oluşturur Nüfus varyansı

Şüpheniz varsa örnek varyansını kullanın. Gerçek dünyadaki veri kümelerinin çoğu örnektir.

Neden Farklılıkları Ortaya Çıkarıyoruz?

Şunu merak edebilirsiniz: neden ortalamadan ham farkların ortalamasını almıyorsunuz?

Sorun, pozitif ve negatif sapmaların birbirini götürmesidir. Yukarıdaki veri seti için bazı değerler ortalamanın üstünde, bazıları ise altındadır. Karelerini almadan hepsini toplarsan her zaman sıfır elde edersin.

Kare alma negatif işaretleri ortadan kaldırır, böylece tüm sapmalar toplam yayılmaya olumlu katkıda bulunur.

Pratik Uygulamalar

Finans: Portföy farkı yatırım riskini ölçer. Varyansı 0,04 olan bir portföy, varyansı 0,16 olan portföyden daha az risklidir; her ikisi de aynı beklenen getiriye sahip olsa bile.

Kalite kontrolü: Değişkenliğin düşük olduğu bir üretim süreci daha tutarlı çıktılar üretir. Yüksek varyans öngörülemeyen sonuçlar anlamına gelir.

Bilim: Deneylerde, tekrarlanan ölçümler arasındaki yüksek fark, ölçüm hatasına veya kontrolsüz değişkenlere işaret eder.

Spor analizleri: Oyuncu performans farkı, oyuncunun tutarlı mı (düşük fark) yoksa seri mi (yüksek fark) olduğunu gösterir.

Yaygın Hatalar

Örnekler için n − 1 yerine N kullanılması — Bu, gerçek popülasyon varyansını olduğundan az tahmin eder. Örnek veriler için her zaman n – 1 kullanın.

Karesini almayı unutmak — Yaygın bir hata, karesel farklar yerine ham farkların ortalamasının alınmasıdır.

Varyansı aralıkla karıştırmak — Aralık, yalnızca maksimum eksi minimumdur. Varyans yalnızca uç noktaları değil tüm veri noktalarını kapsar.

Hızlı Başvuru

Formül Ne zaman kullanılmalı
KOD0 Tam nüfus
KOD0 Nüfustan örnek
KOD0 Standart sapmayı elde etmek için

Sonrakini Oku