Z-puanı (veya standart puan), bir veri noktasının ortalamadan kaç standart sapma olduğunu ölçer. Ham puanları, farklı veri kümeleri arasında karşılaştırma yapılmasına olanak tanıyan standartlaştırılmış bir ölçeğe dönüştürür.
Z-Score Formülü
z = (x − μ) ÷ σ
Nerede:
- x = bireysel veri noktası
- μ (mu) = nüfus ortalaması
- σ (sigma) = popülasyon standart sapması
Bir numune için μ'yi x̄ (örnek ortalaması) ve σ'yu s (örnek SD) ile değiştirin.
Çalışılan Örnek
Bir öğrenci sınavdan 72 puan alıyor. Sınıf ortalaması 65, standart sapması ise 8’dir.
z = (72 − 65) ÷ 8 = 7 ÷ 8 = 0.875
Bu öğrenci ortalamanın üzerinde 0,875 standart sapma puan aldı.
Z-Skorlarını Yorumlama
| Z puanı | Tercüme | Yüzdelik (yaklaşık) |
|---|---|---|
| −3 | Son derece ortalamanın altında | 0.1% |
| −2 | Ortalamanın oldukça altında | 2.3% |
| −1 | Ortalamanın altında | 15.9% |
| 0 | ortalamada | 50.0% |
| +1 | Ortalamanın üstünde | 84.1% |
| +2 | Ortalamanın oldukça üzerinde | 97.7% |
| +3 | Son derece ortalamanın üzerinde | 99.9% |
68-95-99.7 Kuralı
Normal bir dağılımda:
- Verilerin %68'i ±1 standart sapma dahilindedir
- %95 ±2 standart sapma dahilinde
- %99,7 ±3 standart sapma dahilinde
Z-Score'unu Yüzdelik Değere Dönüştürme
Z puanınızı aldıktan sonra standart normal tabloya (Z tablosu) bakın veya şunu kullanın:
Percentile = Φ(z) × 100
Burada Φ kümülatif normal dağılım fonksiyonudur.
Örnek: z = 1,5 → Φ(1,5) = 0,9332 → 93,3'üncü yüzdelik dilim
Z-Skorlarının Uygulamaları
Finans:
- Altman Z-Score iflas riskini tahmin ediyor
- Aykırı değerleri belirlemek için risk yönetiminde kullanılır
Sağlık hizmeti:
- Çocuklar için yaş z-skorları için BMI
- Kemik yoğunluğu (DXA) T-puanları, z-puanının bir biçimidir
Kalite kontrolü:
- Altı Sigma süreç yeteneğini ölçmek için z-puanlarını kullanır
- Bir "6-sigma" sürecinin z-puanı 6'dır (milyonda 3,4 hata)
Test puanlarının standartlaştırılması:
- IQ puanları: ortalama 100, SD 15 (z-puanı +2 → IQ 130)
- SAT puanları: ortalama 1000, SD 200 (z puanlarına göre ölçeklendirilmiş)
Farklı Testlerdeki Puanları Karşılaştırma
Örnek: Alice, Test A'da 80 puan aldı (ortalama 70, SD 10). Bob, Test B'de 55 puan aldı (ortalama 40, SD 8).
Alice's z = (80 − 70) ÷ 10 = 1.0
Bob's z = (55 − 40) ÷ 8 = 1.875
Daha düşük ham puana rağmen Bob akranlarına göre daha iyi performans gösterdi.