Що таке Black-Scholes Option Pricing?
▾
Модель Блека-Шоулза розраховує справедливу ціну опціону європейського зразка — контракту, який дає вам право, але не зобов’язання, купити (колл) або продати (пут) акції за фіксованою ціною на певну майбутню дату. До 1973 року опціони оцінювалися на основі інтуїції та переговорів. Фішер Блек і Майрон Шоулз змінили все за допомогою єдиного рівняння, яке трактувало ціноутворення опціонів як математичну достовірність з урахуванням п’яти спостережуваних вхідних даних. Разом із удосконаленнями Роберта Мертона ця робота принесла Шоулзу та Мертону Нобелівську премію з економіки 1997 року та започаткувала сучасний ринок деривативів вартістю в сотні трильйонів доларів. Модель припускає, що ціна акцій дотримується випадкового блукання з постійною волатильністю, що немає дивідендів і що ви можете торгувати безперервно без транзакційних витрат. На практиці трейдери використовують його як орієнтир — вони вводять поточні ринкові ціни, щоб перевірити «приблизну волатильність», консенсус-прогноз ринку щодо того, на скільки будуть рухатися акції. Кожен трейдер опціонів спостерігає за припущеною волатильністю, оскільки вона повідомляє вам, дешеві чи дорогі опціони порівняно з минулими даними. Якщо передбачувана волатильність висока, опціони коштують дорожче; якщо низькі, вони коштують дешевше. Модель має відомі обмеження — вона недооцінює ймовірність екстремальних ринкових змін (жирні хвости) і не працює для опціонів американського типу, які можна реалізувати достроково — але вона залишається універсальною відправною точкою для ціноутворення всіх опціонів та управління ризиками.
Calkulon makes complex calculations simple — built for students and everyday problem-solvers.
Формула
▾
Ціна виклику = S·N(d₁) − K·e^(−rT)·N(d₂)
Ціна поставки = K·e^(−rT)·N(−d₂) − S·N(−d₁)
d₁ = [ln(S/K) + (r + σ²/2)·T] / (σ·√T)
d₂ = d₁ − σ·√T
N(x) = стандартна нормальна кумулятивна функція розподілуОпис змінних
▾
| Символ | Ім'я | Одиниця | Опис |
|---|---|---|---|
| S | Поточна ціна акцій | currency | Поточне значення курсу акцій, яке служить критичним вхідним параметром у розрахунку Блека Шоулза та безпосередньо впливає на величину та точність обчисленого вихідного результату |
| K | Ціна виконання | currency | Значення ціни виконання, яке служить критичним вхідним параметром у розрахунку Блека Шоулза та безпосередньо впливає на величину та точність обчисленого вихідного результату |
| r | Безризикова ставка | % per year | Значення безризикової ставки, яке служить критичним вхідним параметром у розрахунку Блека Шоулза та безпосередньо впливає на величину та точність обчисленого вихідного результату |
| T | Термін дії | years | Час, що залишився до закінчення терміну дії опціону, виражений у роках (наприклад, 90 днів = 0,247 року) |
| σ | Волатильність | % per year | Річне стандартне відхилення логарифмічної прибутковості акцій; критичний і єдиний неспостережуваний вхід моделі |
Як Black-Scholes Option Pricing
▾
- 1Зберіть п’ять вхідних даних: поточна ціна акцій (S), ціна виконання (K), безризикова ставка (r), час до закінчення терміну дії в роках (T) і очікувана волатильність (σ).
- 2Обчислити d₁: це фіксує, наскільки опціон знаходиться в грошах, з урахуванням часу та волатильності.
- 3Обчисліть d₂ = d₁ − σ√T: це d₁ скоригований у бік зменшення на невизначеність шляху акції.
- 4Знайдіть N(d₁) і N(d₂) зі стандартного нормального розподілу — це ймовірність закінчення терміну дії опціону в грошах.
- 5Для колла: помножте ціну акції на N(d₁), а потім відніміть дисконтовану ціну виконання, помножену на N(d₂).
- 6Для пут: використовуйте паритет пут-кол або формулу прямого пут. Put = Call − S + K·e^(−rT).
- 7Порівняйте ціну моделі з ринковою; якщо вони відрізняються, різниця пояснюється іншим припущенням про волатильність — що неявна волатильність є реальним сигналом ринку.
Розв'язані приклади
▾
Опціони на гроші (S=K) найчастіше торгуються; їх ціна найбільш чутлива до змін волатильності.
Якщо ціна акції точно відповідає ціні страйку, опціон не має внутрішньої вартості — усі 10,45 доларів США є вартістю в часі. Приблизно половина премії походить від потенціалу зростання акцій вище 100 доларів, а компонент процентної ставки (часова вартість грошей) пояснює невелику знижку на страйк.
Висока волатильність різко підвищує ціни опціонів без грошей — у акцій є 6 місяців, щоб зрости на 25%.
Незважаючи на те, що опціон на 20% не має грошей, опціон має значну цінність через високу припущену волатильність (40%) і 6 місяців, що залишилися. Волатильність у 40% у річному вимірі означає, що приблизно ±25% змін протягом 6 місяців знаходяться в межах одного стандартного відхилення, що робить зростання до 100 доларів вірогідним.
Глибокі пут мають ціну, близьку до внутрішньої вартості (K−S=30$) з невеликою премією за час.
Пут коштує майже повну внутрішню вартість у 30 доларів, тому що поки що в грошах. Невелика знижка від 30 доларів відображає безризикові відсотки, отримані від очікування (ви також можете скоротити акції та інвестувати 100 доларів під 3%). Премія за час невелика, тому що існує невелика невизначеність щодо того, чи закінчиться цей пут у грошах.
Трейдери використовують Блека-Шоулза у зворотному порядку, щоб отримати прогноз волатильності ринку з цін опціонів.
Коли ціна моделі за 20% волатильності становить лише 5,50 доларів США, а ринок торгується на рівні 8,00 доларів США, ринок передбачає вищу волатильність — приблизно 28,5%. Ця неявна волатильність є справжнім сигналом: вона говорить вам, що ринок очікує більших, ніж середні, рухів. Трейдери порівнюють неявну волатильність з історичною волатильністю, щоб вирішити, дешеві чи дорогі опціони.
Практичне застосування
▾
Ціноутворення опціонів на акції, індекси та ETF на біржах у всьому світі, що дозволяє практикам приймати обґрунтовані кількісні рішення на основі підтверджених обчислювальних методів і галузевих стандартних підходів, що вимагає точного кількісного аналізу для підтримки рішень на основі фактичних даних, стратегічного розподілу ресурсів і оптимізації продуктивності в різних організаційних контекстах і професійних дисциплінах.
Оцінка опціонів на акції співробітників для фінансової звітності (ASC 718 / МСФЗ 2), допомога аналітикам у отриманні точних результатів, які підтримують стратегічне планування, розподіл ресурсів і порівняльний аналіз ефективності між організаціями, де точні числові обчислення є важливими для отримання надійних результатів, які інформують про процеси планування, оцінки та постійного вдосконалення як у корпоративних, так і в індивідуальних налаштуваннях.
Вилучення припущеної волатильності для побудови індексу VIX та інших контрольних показників Vol, що дозволяє професіоналам систематично оцінювати результати та порівнювати сценарії за допомогою надійних математичних основ і встановлених формул, вимагаючи систематичних підходів до розрахунку, які перетворюють необроблені вхідні дані в практичні ідеї для зацікавлених сторін, які залежать від кількісної точності у своїй щоденній професійній діяльності
Опціони хеджування з використанням дельта, гамма та вега, розрахованих на основі моделі, підтримка процесів оцінювання на основі даних, де чисельна точність є важливою для відповідності, звітності та цілей оптимізації, що вимагає надійних обчислювальних методів, які забезпечують послідовні та перевірені результати, придатні для звітності, аудиту та аналізу довгострокових тенденцій у професійному середовищі
Особливі випадки
▾
Акції, що виплачують дивіденди
Стандартна модель ігнорує дивіденди. Для акцій, які виплачують відомі дивіденди, перед застосуванням формули відніміть поточну вартість очікуваних дивідендів від поточної ціни акцій. Для безперервної дивідендної прибутковості (звичайної для індексних опціонів) замініть S на S·e^(−qT), де q є безперервною дивідендною прибутковістю — це розширення Мертона (1973).
Дуже короткий або дуже довгий термін придатності
Близько закінчення терміну дії (днів), модель може давати неточні результати, якщо акція знаходиться біля страйку — функція ймовірності стає дуже чутливою до незначних змін вхідних даних. Для дуже довготермінованих опціонів (LEAPS, 2+ роки) невизначеність процентної ставки та тенденції повернення середнього значення роблять припущення щодо постійної волатильності все більш нереалістичними.
Бінарні та бар'єрні опціони
Блек-Шоулз у своїй стандартній формі не встановлює ціни на екзотичні опціони, такі як бар’єри (опції, які активуються або деактивуються за порогом ціни) або бінарні файли (фіксована виплата, якщо умова виконується). Для цього потрібні модифіковані формули чи чисельні методи, хоча в їх розробці з’являються будівельні блоки Блека-Шоулза.
Приблизні ціни опціонів кол — S=100 доларів США, r=4%, T=0,5 року
▾
| Страйк (K) | σ=15% | σ=25% | σ=35% | σ=50% |
|---|---|---|---|---|
| 80 доларів США (Deep ITM) | 21,50 доларів США | 22,60 доларів США | 24,10 доларів США | 26,80 доларів США |
| 95 доларів США (невеликий ITM) | 7,80 доларів США | 9,90 доларів США | 12,10 доларів США | 15,30 доларів США |
| 100 доларів США (банкомат) | 4,30 доларів США | 7,10 доларів США | 9,80 доларів США | 13,50 доларів США |
| $105 (невеликий OTM) | $2,00 | 4,90 доларів США | 7,60 доларів США | 11,40 доларів США |
| 120 доларів США (deep OTM) | 0,10 доларів США | 1,20 доларів США | 3,20 доларів США | 7,00 доларів США |
Часті запитання
▾
Що таке неявна волатильність і чому це важливо?
Передбачена волатильність (IV) — це значення волатильності, яке, будучи підключеним до формули Блека-Шоулза, дає поточну ринкову ціну опціону. Він представляє консенсус-прогноз ринку щодо майбутнього руху цін. Коли IV високий, опціони дорогі — ринок боїться великих рухів. Коли IV низький, варіанти дешеві. Трейдери порівнюють поточний IV з історичною волатильністю, щоб знайти завищені або занижені опціони. Індекс VIX, який часто називають «вимірювачем страху», є непрямою волатильністю опціонів S&P 500.
Чому Блек-Шоулз не може точно оцінити американські опціони?
Американські опціони можна виконати в будь-який час до закінчення терміну дії, що створює премію за раннє виконання, яку Блек-Шоулз не може отримати за допомогою своєї формули закритої форми. Для американських колл на акції, які не виплачують дивіденди, раннє виконання ніколи не є оптимальним (вам краще продати опціон), тому ціна колл Блека-Шоулза є точною. Для американських пут- і колл акцій, які виплачують дивіденди, практики використовують біноміальні дерева (модель Кокса-Росса-Рубінштейна) або чисельні методи, як-от схеми скінченних різниць.
Що таке посмішка волатильності і чому вона виникає?
Якби Блек-Шоулз був абсолютно правий, припущена волатильність була б постійною для всіх цін страйків. На практиці опціони без грошей ставлять (страхування від аварій) у торгівлю з вищою припущеною волатильністю, ніж опціони за гроші, а колл поза грішми іноді також показує підвищений IV. Ця закономірність — яка називається усмішкою волатильності або перекосом — відображає страх учасників ринку перед хвостовими подіями, які Блек-Шоулз недооцінює. Він став помітно після краху фондового ринку 1987 року.
Що дельта говорить мені про опцію?
Дельта (∂V/∂S) повідомляє вам, наскільки змінюється ціна опціону при зміні акції на 1 долар. Дельта 0,60 означає, що ціна опціону зростає на 0,60 долара, коли акція зростає на 1 долар. Дельта також приблизно оцінює ймовірність того, що опціон закінчиться в грошах: колл дельта 0,60 має приблизно 60% ймовірність закінчення терміну дії в грошах. Трейдери використовують дельту для хеджування: щоб бути «дельта-нейтральними», ви тримаєте акції пропорційно до дельти опціону, щоб компенсувати спрямований ризик.
Як загасання з часом (тета) впливає на вартість опціону?
Опціони втрачають цінність із наближенням терміну дії — ця ерозія називається загасанням часу або тета. За інших рівних умов опціон втрачає цінність щодня просто через час. Опціони на гроші мають найвищий спад у часі в абсолютному вираженні; опціони «глибоко в грошах» або «далеко без грошей» мають нижчу тету. Ось чому купівля опціонів вимагає, щоб акції рухалися достатньо, щоб компенсувати поточну ерозію вартості в часі — покупці опціонів борються із занепадом часу кожного дня, коли вони займають позицію.
Чи можна використовувати Black-Scholes для опціонів криптовалюти?
Так, із суттєвими застереженнями. Блек-Шоулз може оцінити криптовалютні опціони, якщо ви введете відповідну непряму волатильність. Опціони на біткойни торгуються на Deribit і CME з IV, який часто коливається в межах 50–150% — це набагато вище, ніж на фондових ринках. Припущення моделі про постійну волатильність ще більше порушується для криптовалюти, де сама волатильність є високоволатильною (часто її називають «volu of vol»). Більш складні моделі, такі як SABR або Heston, які допускають стохастичну волатильність, більш підходять для точного ціноутворення криптовалютних опціонів.
Ким був Фішер Блек і чому він не Нобелівський лауреат?
Фішер Блек був прикладним математиком і фінансовим економістом, який розробив модель разом з Майроном Шоулзом. Він працював у Goldman Sachs, застосовуючи модель на практиці. Нобелівська премія з економіки була присуджена в 1997 році Шоулзу і Роберту Мертону за їхню роботу над методологією ціноутворення опціонів. Фішер Блек помер від раку горла в серпні 1995 року — за два роки до нагородження. Нобелівська премія не присуджується посмертно, тому Блек був явно визнаний, але не міг отримати премію.
Поширені помилки
▾
- !Безпосереднє використання історичної волатильності — модель має використовувати неявну волатильність або прогнозну оцінку, а не минуле. Використання нещодавнього історичного об’єму може занизити ціну опціонів перед такими нестабільними подіями, як прибутки.
- !Підключення часу в днях без перетворення в роки — T має бути в роках (дні/365 або дні/252 для торгових днів).
- !Ігнорування дивідендів для акцій, що виплачують дивіденди — пропуск коригування дивідендів значно переоцінює вимоги платників дивідендів, а також занижує їхню вартість близько попередньої дати.
- !Розглядаючи результати моделі як «правильну» ринкову ціну — модель є еталоном; торгівля реальними опціонами за цінами, що визначаються попитом і пропозицією та ліквідністю.
Порада профі
Порівнюючи опціони за страйками або термінами погашення, порівнюйте неявну волатильність, а не ціни опціонів. Опціон може виглядати дешевим у доларовому еквіваленті, але дорогим з точки зору волатильності. Завжди нормалізуйте, дивлячись на поверхню IV — 3D-карту передбачуваної волатильності за страйками та термінами погашення — щоб визначити відносні можливості створення вартості.
Чи знаєте ви?
Модель Блека-Шоулза дозволила відкрити Чиказьку біржу опціонів (CBOE) у квітні 1973 року — буквально в тому самому місяці, коли була опублікована стаття. Протягом десяти років обсяги торгівлі опціонами зросли з тисяч до мільйонів контрактів на день. Формула виявилася настільки вражаючою, що невдовзі після публікації компанія Texas Instruments випустила спеціальний кишеньковий калькулятор із попередньо запрограмованим Блеком-Шоулзом.
Regional Guides
▾
🇺🇸 US▾
🇬🇧 UK▾
🇪🇺 EU▾
Джерела
Ratings & comments
Отримуйте щотижневі поради з математики
Приєднуйтеся до 12 000+ підписників, які щотижня отримують поради щодо калькулятора.