Що таке Yield to Maturity Calculator?
▾
Прибуток до погашення (YTM) — це загальний річний прибуток, який інвестор міг би отримати, якби він придбав облігацію за її поточною ринковою ціною та утримував її до погашення облігації, припускаючи, що всі купонні виплати будуть реінвестовані з тим самим прибутком. YTM — це еквівалент внутрішньої норми прибутку (IRR) облігації — це ставка дисконту, яка робить теперішню вартість усіх майбутніх грошових потоків (купонів плюс погашення основної суми) рівною поточній ринковій ціні облігації. YTM є найповнішим показником прибутковості облігацій, оскільки він враховує три джерела прибутку: (1) купонний дохід, отриманий періодично, (2) будь-який приріст або збиток капіталу між ціною покупки та номінальною вартістю, отриманою на момент погашення (наприклад, якщо ви купуєте облігацію за 950 доларів США, але отримуєте 1000 доларів США на момент погашення, різниця в 50 доларів США додається до прибутку), і (3) дохід від реінвестування, отриманий шляхом інвестування отриманих купонів. за ставкою прибутку. Оскільки YTM передбачає реінвестування купона з однаковою прибутковістю, це гіпотетичний показник — фактичний реалізований дохід відрізнятиметься, якщо ставки реінвестування змінюватимуться протягом терміну дії облігації. Дохідність до погашення завжди котирується на річній основі, навіть якщо облігація виплачує купони частіше. Для піврічних купонних облігацій (конвенція США) прибутковість зазначається як еквівалентний дохід облігацій (BEY) — подвійний піврічний періодичний курс. Це дозволяє проводити пряме порівняння між облігаціями з різною частотою купонів. Зв’язок між ціною та дохідністю є зворотним: коли ринкова ціна облігації підвищується вище її номінальної вартості (преміальна облігація), її дохідність є нижчою за купонну ставку; коли ціна падає нижче номіналу (облігація з дисконтом), доходність до погашення перевищує купонну ставку. За номіналом дохід до погашення точно дорівнює купонній ставці. Ця зворотна залежність є основоположним принципом інвестування в фіксований дохід і пояснює, чому ціни на облігації падають, коли відсоткові ставки зростають, і навпаки. YTM служить основою для: оцінки та порівняння облігацій, побудови кривої прибутковості, аналізу кредитного спреду (YTM мінус YTM казначейства), розрахунку дюрації та оцінки вартості боргу в корпоративних фінансах (використовується в розрахунках WACC). Розуміння прибутку є важливим для всіх учасників ринку цінних паперів з фіксованим доходом.
Calkulon makes complex calculations simple — built for students and everyday problem-solvers.
Формула
▾
P = Σ [C / (1 + YTM/m)^t] + F / (1 + YTM/m)^n
(Вирішується ітераційно для YTM; наближення: YTM ≈ [C + (F−P)/n] / [(F+P)/2])Опис змінних
▾
| Символ | Ім'я | Одиниця | Опис |
|---|---|---|---|
| YTM | Прибутковість до погашення | % per year | Річна ставка дисконту, яка прирівнює поточну вартість усіх майбутніх грошових потоків до поточної ринкової ціни облігації. |
| P | Поточна ціна облігацій | currency | Ринкова ціна облігації сьогодні (скільки платить інвестор, щоб придбати облігацію). |
| C | Купонна оплата | currency per period | Періодичні виплати відсотків: C = номінальна вартість × річна купонна ставка / частота купонів. |
| F | Номінальна вартість (номінальна вартість) | currency | Основна сума, що виплачується після погашення, зазвичай становить 1000 доларів США для казначейських і корпоративних облігацій США. |
| n | Кількість періодів | count | Загальна кількість купонних періодів, що залишилися до погашення (наприклад, 20 періодів для 10-річної піврічної облігації). |
| t | Номер періоду | count | Часовий індекс кожної купонної виплати від 1 до n; використовується у формулі підсумовування поточної вартості. |
Як Yield to Maturity Calculator
▾
- 1Визначте ключові параметри облігації: поточну ринкову ціну (P), номінал (F), річну купонну ставку, частоту купонів (m) і кількість років до погашення.
- 2Розрахуйте періодичну купонну виплату: C = F × (Річна купонна ставка / m). Для облігації на суму 1000 доларів США з 5% річним купоном, що виплачується кожні півроку: C = 1000 доларів США × 0,05/2 = 25 доларів США за період.
- 3Визначте загальну кількість купонних періодів: n = кількість років до погашення × m. 10-річна піврічна облігація має n = 20 періодів.
- 4Налаштуйте рівняння YTM: P = Σ [C / (1+r)^t] для t=1 до n, плюс F/(1+r)^n, де r = YTM/m (періодична врожайність). Це рівняння не має замкнутого розв’язку і має розв’язуватися чисельно.
- 5Використовуйте ітераційний метод (Ньютона-Рафсона, розділення навпіл або фінансовий калькулятор), щоб знайти значення r, яке задовольняє рівняння. Почніть із початкового припущення (наприклад, купонної ставки), обчисліть непряму ціну, порівняйте з фактичною ціною та відповідно відкоригуйте r до збіжності.
- 6Перетворіть періодичну прибутковість у річну прибутковість: YTM = r × m (конвенція про еквівалентну прибутковість облігацій для ринку США). Для місячних періодів (m=12) YTM = r × 12.
- 7Інтерпретуйте прибутковість до погашення: порівняйте з переважаючою прибутковістю казначейства (для обчислення кредитного спреду), з купонною ставкою (чи облігація торгується з премією, дисконтом чи номіналом?) і з прибутковістю порівнянних облігацій (для аналізу відносної вартості).
Розв'язані приклади
▾
Коли ціна дорівнює номіналу, прибутковість завжди дорівнює купонній ставці.
Коли облігація торгується за її номінальною вартістю (номіналом), на момент погашення немає приросту чи збитку капіталу — лише купонний дохід. Таким чином, доходність до погашення точно дорівнює купонній ставці 4,50%. Це математична тотожність: вставлення P = F у формулу YTM завжди дає YTM = купонна ставка. Інвестор, який купує ці 10-річні казначейські облігації за номіналом, отримує 4,50% річного прибутку лише від купонного доходу, припускаючи, що реінвестиції становлять 4,50%. Цей зв’язок є найпростішим випадком і забезпечує інтуїтивно зрозумілу перевірку будь-якого розрахунку прибутку.
Дисконтна облігація: дохід до погашення перевищує купонну ставку через приріст капіталу на момент погашення.
Ця корпоративна облігація торгується за 920 доларів США, що нижче її номінальної вартості в 1000 доларів США (дисконтна облігація). Інвестор отримує піврічні купони в розмірі 25 доларів США плюс приріст капіталу в розмірі 80 доларів США на момент погашення (1000 – 920 доларів США). Як купонний дохід, так і приріст капіталу вносять свій внесок у прибутковість до погашення, перевищуючи ставку купона в 5,0%. Доходність до погашення 6,22% являє собою загальну річну прибутковість, що поєднує обидва джерела. Дисконт, ймовірно, відображає або підвищення ринкових процентних ставок з моменту випуску облігації, або погіршення кредитної якості емітента, або те й інше. Кредитний спред порівняно з казначейством становить приблизно 6,22% − 4,50% = 172 базисних пункти.
Преміальна облігація: прибутковість до погашення нижче купонної ставки через втрату капіталу на момент погашення.
Муніципальна облігація, що торгується за 1080 доларів США, призведе до втрати капіталу в розмірі 80 доларів США (1080 – 1000 доларів США) на момент погашення. Ця втрата капіталу частково компенсує вищий купон у 6%, в результаті чого прибутковість до погашення становить 4,28% — нижче купонної ставки. Преміальні облігації торгуються вище номіналу, якщо дохідність на переважаючому ринку впала з моменту випуску облігації або коли облігація має премію за кредитну якість. Для муніципальних облігацій податковий еквівалент прибутковості є вищим за номінальний: для інвестора з податковою категорією 32% 4,28% неоподатковуваний ≈ 6,29% оподатковуваний еквівалентний дохід, що робить цю облігацію конкурентоспроможною з оподатковуваними облігаціями з вищим прибутком.
Весь прибуток походить від приросту капіталу — жодного ризику реінвестування.
Облігації з нульовим купоном не виплачують купонів — весь прибуток отримується від різниці між ціною покупки (620,92 доларів) і номінальною вартістю (1000 доларів), отриманою на момент погашення. Прибуток до погашення 4,77% обчислюється безпосередньо: (1000/620,92)^(1/10) − 1 = 4,77% щорічно. Облігації з нульовим купоном не мають ризику реінвестування — ключової переваги — оскільки немає проміжних грошових потоків для реінвестування. Прибуток до погашення облігації з нульовим купоном – це гарантований річний прибуток, якщо вона утримується до погашення, незалежно від того, де змінюються ставки реінвестування протягом періоду утримання. Це робить їх ідеальними для задоволення конкретних майбутніх потреб у грошових потоках.
Практичне застосування
▾
Оцінка облігацій та вибір інвестицій: порівняння доходів до погашення для різних облігацій для виявлення відносних можливостей вартості, де точний аналіз прибутковості до погашення за допомогою Дохідності до погашення підтримує прийняття рішень на основі фактичних даних і кількісну точність у професійних робочих процесах
Корпоративні фінанси: оцінка вартості боргу з використанням показника прибутковості непогашених облігацій як вхідних даних для WACC, де точний аналіз прибутковості до погашення за допомогою методу прибутковості до погашення підтримує прийняття рішень на основі фактичних даних і кількісну точність у професійних робочих процесах
Побудова кривої прибутковості: початкове визначення прибутковості з нульовим купоном із доходності купонних облігацій для ціноутворення деривативів, де точний аналіз прибутковості до погашення за допомогою функції «Доходність до погашення» підтримує прийняття рішень на основі фактичних даних і кількісну точність у професійних робочих процесах
Кредитний аналіз: обчислення кредитних спредів за казначейськими облігаціями для оцінки відносної компенсації кредитного ризику, де точний аналіз прибутковості до погашення за допомогою прибутковості до погашення підтримує прийняття рішень на основі фактичних даних і кількісну точність у професійних робочих процесах
Управління портфелем цінних паперів з фіксованим доходом: моніторинг дохідності портфеля та порівняння з еталонною дохідністю
Особливі випадки
▾
На практиці цей граничний випадок вимагає ретельного розгляду, оскільки стандартні припущення можуть не виконуватися. Стикаючись із цим сценарієм під час розрахунків калькулятора прибутковості до погашення, спеціалісти-практики повинні перевірити граничні умови, перевірити наявність ризиків ділення на нуль і розглянути, чи залишаються припущення моделі дійсними за цих екстремальних умов.
На практиці цей граничний випадок вимагає ретельного розгляду, оскільки стандартні припущення можуть не виконуватися. Стикаючись із цим сценарієм під час розрахунків калькулятора прибутковості до погашення, спеціалісти-практики повинні перевірити граничні умови, перевірити наявність ризиків ділення на нуль і розглянути, чи залишаються припущення моделі дійсними за цих екстремальних умов.
На практиці цей граничний випадок вимагає ретельного розгляду, оскільки стандартні припущення можуть не виконуватися. Стикаючись із цим сценарієм під час розрахунків калькулятора прибутковості до погашення, спеціалісти-практики повинні перевірити граничні умови, перевірити наявність ризиків ділення на нуль і розглянути, чи залишаються припущення моделі дійсними за цих екстремальних умов.
Орієнтовні точки кривої дохідності казначейства США (приблизні історичні середні значення)
▾
| Зрілість | Середня прибутковість до 2008 року | Низький рівень після 2008 р. (2020–2021 рр.) | 2023–2024 Рівень |
|---|---|---|---|
| 3-місячний казначейський вексель | 4,5 – 5,5% | 0,05 – 0,10% | 5,0 - 5,5% |
| 2-річна скарбниця | 4,5 – 5,5% | 0,10 – 0,25% | 4,5 - 5,0% |
| 5-річна скарбниця | 4,5 – 5,5% | 0,30 – 0,80% | 4,2 – 4,7% |
| 10-річна скарбниця | 4,5 – 5,5% | 0,50 – 1,50% | 4,0 – 4,7% |
| 30-річна скарбниця | 5,0 - 6,0% | 1,20 – 2,30% | 4,2 – 5,0% |
| Корпус інвестиційного рівня (10 років) | 5,5 – 7,0% | 2,0 – 3,5% | 5,5 – 6,5% |
| Високопродуктивний корпус (5 років) | 8,0 - 12,0% | 5,0 - 7,0% | 8,0 - 10,0% |
Часті запитання
▾
Яка різниця між прибутковістю, поточною прибутковістю та купонною прибутковістю?
Купонний дохід (або номінальний дохід) — це річний купон, поділений на номінальну вартість — він не змінюється незалежно від ринкової ціни облігації. Поточна прибутковість — річний купон, поділений на поточну ринкову ціну — він відображає прибуток від поточної суми інвестицій, але ігнорує приріст/збиток капіталу на момент погашення та дохід від реінвестування. Доходність до погашення є найбільш комплексним показником, який включає купонний дохід, приріст або збиток капіталу на момент погашення та часову вартість грошей через дисконтування поточної вартості. Для прийняття інвестиційних рішень показник прибутковості, як правило, є найбільш релевантним показником прибутковості, оскільки він представляє загальний річний прибуток, якщо облігація утримується до погашення.
Чому YTM передбачає реінвестування купона за тією самою ставкою?
YTM обчислюється як внутрішня норма прибутку — єдина ставка, яка прирівнює всі грошові потоки до поточної ціни. Відповідно до математичної конструкції, цей розрахунок передбачає, що кожен отриманий купон негайно реінвестується за тією самою ставкою (YTM) протягом терміну дії облігації, що залишився. Насправді ставки реінвестування коливаються: якщо ставки падають після покупки, купони реінвестуються за нижчими ставками (зменшуючи загальний прибуток нижче прибутку); якщо ставки зростають, купони заробляють більше (підвищуючи загальний прибуток вище прибутку). Ця невизначеність рівня реінвестування називається ризиком реінвестування і є основною причиною того, що реалізований прибуток може відрізнятися від прибутковості, розрахованої під час покупки. Облігації з нульовим купоном є єдиними облігаціями без ризику реінвестування.
Як прибутковість до погашення пов’язана з ціною облігації — і чому вони рухаються в протилежних напрямках?
Ціна облігації та прибутковість мають обернену залежність, оскільки прибутковість — це ставка дисконту, що застосовується до майбутніх грошових потоків. Коли прибутковість до погашення зростає (відображаючи вищі ринкові процентні ставки або підвищений передбачуваний кредитний ризик), теперішня вартість фіксованих майбутніх грошових потоків зменшується, тому ціна облігації падає. І навпаки, коли прибутковість до погашення падає, майбутні грошові потоки дисконтуються за нижчою ставкою, що збільшує їх теперішню вартість і підвищує ціну облігації. Це фундаментальний механізм: існуючі облігації з фіксованим купоном стають менш цінними, коли нові облігації пропонують вищу прибутковість, і більш цінними, коли нові облігації пропонують нижчу прибутковість. Величина цієї цінової чутливості вимірюється тривалістю.
Що таке Yield to Call (YTC) і коли це має значення?
Прибуток до погашення (YTC) — це дохід, отриманий, якщо облігація погашена (викуплена достроково емітентом) на першу дату погашення, а не утримується до погашення. Він розраховується так само, як YTM, але з використанням ціни виклику (зазвичай на рівні номіналу або трохи вище) як термінального грошового потоку та часу до дати першого виклику як n. YTC має значення для облігацій із можливістю відкликання — коли ринкова прибутковість значно нижча від купонної ставки, емітент, швидше за все, викличе облігацію для рефінансування за нижчою ціною, а YTC стане кращою оцінкою реалізованої прибутковості інвестора, ніж YTM. Оцінюючи облігації з можливістю відкликання, інвестори повинні враховувати найнижчу прибутковість (YTW) — мінімум YTM, YTC і прибутковість до будь-якої іншої дати колл/пут — як найбільш консервативну оцінку прибутку.
Яке значення кривої прибутковості (YTM curve)?
Крива прибутковості відображає прибутковість порівнянних облігацій (з однаковою кредитною якістю, зазвичай це державні облігації) для різних строків погашення від 1 місяця до 30+ років. Звичайна крива дохідності має нахил угору (довші терміни погашення мають вищі доходи до погашення), що відображає премію за ризик, необхідну для блокування капіталу на довший період. Перевернута крива прибутковості (короткострокові прибутковості перевищують довгострокові прибутковості) історично була надійним провісником рецесії — це відбувалося в 2006, 2019 та 2022 роках. Плоска крива прибутковості пропонує невелику додаткову віддачу для продовження терміну погашення. Крива прибутковості є основою ціноутворення на папери з фіксованим доходом, аналізу монетарної політики та економічного прогнозування.
Як податки впливають на ефективну прибутковість до погашення інвестора?
Податковий режим може суттєво змінити ефективну прибутковість після оподаткування. У США купонний дохід від корпоративних і казначейських облігацій оподатковується як звичайний дохід, тоді як приріст капіталу (від дисконтних облігацій) може оподатковуватися за нижчими ставками приросту капіталу. Відсотки за муніципальними облігаціями зазвичай звільняються від федерального податку на прибуток і часто від податків штату, що робить еквівалентний податок YTM = Муніципальний YTM / (1 − податкова ставка) відповідним порівнянням. Дисконтні облігації оригінального випуску (OID) ще більше ускладнюють оподаткування: дисконт нараховується щорічно та оподатковується як звичайний дохід щороку навіть без касової виручки. Інвестори з високими податковими категоріями повинні завжди обчислювати прибутковість після сплати податків, порівнюючи облігації з різними режимами оподаткування.
Чи може YTM бути негативним і що це означає?
Так. Від’ємна прибутковість виникає, коли інвестори платять за облігацію більше, ніж сума всіх майбутніх грошових потоків, які вони отримають. Це широко траплялося на ринках державних облігацій Європи та Японії з 2015 по 2022 рік, де програми купівлі облігацій центрального банку підняли ціни настільки високо, що дохідність стала від’ємною. Інвестор, який погоджується на негативну прибутковість, по суті, платить за безпеку, ліквідність або регуляторні переваги утримання державних облігацій — він гарантовано втратить гроші в номінальному вираженні, якщо їх утримуватиме до погашення. Від’ємна дохідність також може відображати дефляційні очікування: якщо ціни падають, від’ємна номінальна дохідність все ще може означати позитивну реальну дохідність. У США прибутковість короткострокових ОВДП на короткий час стала негативною під час ринкової паніки 2008 і 2020 років.
Поширені помилки
▾
- !Використовуючи купонну ставку облігації як проксі для прибутковості до погашення — це точно, лише коли облігація торгується точно за номіналом.
- !Забувши врахувати угоду про піврічний купон у США — для піврічних облігацій річну купонну ставку потрібно зменшити вдвічі, а кількість періодів подвоїти.
- !Використання чистої ціни замість брудної ціни під час розрахунку прибутковості до погашення облігацій, придбаних між купонними датами, — це завищує дохідність до погашення.
- !Ігнорування припущення про реінвестування YTM — це обіцяна прибутковість, а не гарантований реалізований прибуток, оскільки ставки купонного реінвестування змінюються з часом.
- !Порівняння доходів до погашення облігацій із різною кредитною якістю, частотою отримання купонів або податковим режимом без відповідних коригувань.
Порада профі
Порівнюючи облігації для прийняття інвестиційних рішень, завжди обчислюйте кредитний спред (YTM мінус казначейська YTM порівнянного терміну погашення) разом із YTM. Висока прибутковість може просто відображати високий ризик дефолту — кредитний спред говорить вам, скільки додаткового доходу ви отримуєте, несучи цей додатковий ризик.
Чи знаєте ви?
Математична неможливість розв’язати YTM у закритій формі (це вимагає розв’язання полінома ступеня n, який не має аналітичного розв’язку для n > 4 за теоремою Абеля–Руффіні) означає, що кожен обчислення YTM, який ви бачите — у Excel, на Bloomberg, у фінансовому калькуляторі — використовує ітераційний числовий алгоритм. Це було правдою з тих пір, як розрахунки врожайності були вперше стандартизовані в 19 столітті.
Regional Guides
▾
🇺🇸 US▾
🇬🇧 UK▾
🇪🇺 EU▾
Джерела
Отримуйте щотижневі поради з математики
Приєднуйтеся до 12 000+ підписників, які щотижня отримують поради щодо калькулятора.