Біноміальний розподіл ймовірностей відповідає на фундаментальне питання: якщо подія має відому ймовірність успіху, яка ймовірність отримати рівно певну кількість успіхів у фіксованому числі незалежних випробувань? Це застосовується у контролі якості, медичному тестуванні, підкиданні монет і скрізь, де відбувається фіксована кількість випробувань із двома наслідками (так/ні).

Формула

Формула біноміальної ймовірності обчислює ймовірність рівно k успіхів у n незалежних випробуваннях:

P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)

Де:

  • n = кількість випробувань
  • k = бажана кількість успіхів
  • p = ймовірність успіху в кожному випробуванні
  • C(n,k) = n! / (k! × (n-k)!) — кількість комбінацій

C(n,k) показує, скількома способами можна розташувати k успіхів серед n випробувань.

Розібраний Приклад

Інспектор з якості випадково відбирає 10 лампочок з партії, де відомий відсоток браку 5%. Яка ймовірність того, що рівно 2 лампочки бракованих?

  • n = 10 випробувань
  • k = 2 успіхи (дефекти)
  • p = 0.05 (частка дефектів)
  • 1 - p = 0.95
C(10,2) = 10! / (2! × 8!) = 45
P(X = 2) = 45 × (0.05)^2 × (0.95)^8
P(X = 2) = 45 × 0.0025 × 0.6634 = 0.0746 або 7.46%

Таким чином, ймовірність знайти рівно 2 бракованих лампочки у цій вибірці становить 7.46%.

Пов'язані Ймовірності

Часто потрібна кумулятивна ймовірність — «не більше 2 дефектів» або «не менше 2 дефектів»:

  • P(X ≤ k): Скласти всі ймовірності від 0 до k
  • P(X ≥ k): Скласти всі ймовірності від k до n

При великих значеннях n біноміальний розподіл наближається до нормального, тому замість нього часто використовуються z-оцінки та нормальні таблиці.

Коли Застосовувати Біноміальну Ймовірність

Використовуйте цей розподіл, коли:

  • Кількість випробувань фіксована
  • Кожне випробування має два наслідки (успіх/невдача, брак/норма, так/ні)
  • Ймовірність успіху постійна
  • Випробування незалежні

Типові застосування: ефективність клінічних випробувань препаратів, передвиборчі опитування, частота дефектів у виробництві та прогнозування результатів ігор.

Поради

Біноміальна формула стає обчислювально складною при великих n — необхідні калькулятори та статистичне програмне забезпечення. Пам'ятайте також, що передбачаються незалежні події зі сталою ймовірністю; якщо ці припущення порушені, результат буде неточним.

Використовуйте наш калькулятор біноміальної ймовірності для миттєвого обчислення ймовірностей без ручних розрахунків.