Теорема Піфагора є одним із найвідоміших результатів у всій математиці — досить проста, щоб викласти в одному рядку, достатньо глибока, щоб мати понад 370 відомих доказів. Ось усе, що вам потрібно знати, від формули до практичного застосування.
Формула
Для будь-якого прямокутного трикутника (трикутника з одним кутом 90°):
a^2 + b^2 = c^2
Де a і b — два катети (сторони, що утворюють прямий кут), а c — гіпотенуза (сторона, протилежна прямому куту — завжди найдовша сторона).
Знайти кожну сторону
Знаходження гіпотенузи (c):
c = √(a^2 + b^2)
Знаходження ноги (a):
a = √(c^2 - b^2)
Пошук іншої ноги (b):
b = √(c^2 - a^2)
Спрацьовані приклади
Приклад 1: Прямокутний трикутник має катети 3 см і 4 см. Знайдіть гіпотенузу.
- c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 см
Приклад 2: Драбина довжиною 10 метрів спирається на стіну, її основа знаходиться на відстані 4 метрів від стіни. Як високо він досягає?
- a = √(10² - 4²) = √(100 - 16) = √84 ≈ 9,17 метра
Трійки Піфагора
Піфагорова трійка — це набір із трьох цілих чисел, які задовольняють a² + b² = c². Вони часто виникають у проблемах, і їх варто запам’ятати:
| a | b | в |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 20 | 21 | 29 |
Будь-яке кратне трійці також є трійкою: (6, 8, 10), (9, 12, 15), (15, 20, 25) все працює.
Простий доказ
Найбільш елегантний доказ використовує області. Намалюйте великий квадрат зі стороною (a + b). Всередині нього розмістіть чотири копії прямокутного трикутника з катетами a і b.
Чотири трикутники займають площу 4 × (½ab) = 2ab. Простір, що залишився у великому квадраті, має становити c² (квадрат над гіпотенузою).
Площа великого квадрата (a + b)² = a² + 2ab + b².
Отже: a² + 2ab + b² − 2ab = c²
Тому: a² + b² = c²
Програми реального світу
Будівництво та теслярство
«Правило 3-4-5» щодня використовується на будівельних майданчиках, щоб перевірити ідеальну квадратність кутів. Відміряйте 3 одиниці вздовж однієї стіни, 4 одиниці вздовж сусідньої стіни, потім переконайтеся, що діагональ дорівнює рівно 5 одиницям. Якщо так, то кут рівно 90°.
Навігація
До GPS навігатори постійно використовували теорему. Якщо ви проїдете 30 км на схід, а потім 40 км на північ, ваша відстань по прямій лінії від початку буде √(30² + 40²) = √2500 = 50 км.
Сучасні системи GPS використовують тривимірне розширення теореми для обчислення відстані між координатами.
Розміри екрана
«65-дюймовий телевізор» має діагональ екрана 65 дюймів. Якщо ви знаєте співвідношення сторін (16:9), ви можете знайти точну ширину та висоту за допомогою теореми. Для екрана 65" 16:9: ширина ≈ 56,7", висота ≈ 31,9".
Техніка та фізика
Теорема є основоположною в будівельній інженерії (обчислення несучих діагоналей), комп’ютерній графіці (візуалізація 3D-сцен) і фізиці (обчислення результуючих векторів — комбінованого ефекту двох сил під прямим кутом).
Розширення 3D: Формула відстані
Теорема Піфагора природним чином поширюється на три виміри:
d = √((x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2)
Це використовується в комп’ютерній графіці, фізичному моделюванні, обчисленнях GPS і будь-якій системі, що працює з 3D-координатами.
Обчисліть теорему Піфагора зараз
Використовуйте наш безкоштовний калькулятор, щоб знайти будь-яку сторону прямокутного трикутника за двома іншими. Введіть будь-які дві сторони та миттєво отримайте третю разом із покроковою роботою.