Кубічне рівняння — це поліном третього ступеня із загальною формою ax³ + bx² + cx + d = 0. На відміну від квадратних рівнянь, кубічні рівняння можуть мати 1, 2 або 3 дійсні розв’язки й не мають простої формули замкнутої форми, яку більшість людей вивчають у школі. Однак їх можна вирішити за допомогою формули Кардано або чисельних методів.

Загальна форма

ax³ + bx² + cx + d = 0

Де a ≠ 0 (інакше це не кубічний). Рівняння може мати:

  • 3 різних справжніх кореня
  • 1 дійсний корінь і 2 комплексно спряжених кореня
  • Повторний корінь (коли дискримінант дорівнює нулю)

Формула Кардано

Щоб використати формулу Кардано, спочатку натисніть кубік (вилучіть член x²), замінивши x = t - b/(3a):

t³ + pt + q = 0

Потім корені знаходять за складною формулою з дискримінантом:

Δ = -4p³ - 27q²

Якщо Δ > 0: три різні дійсні корені Якщо Δ = 0: принаймні два рівних дійсних кореня Якщо Δ < 0: один дійсний корінь і два комплексно спряжених кореня

Спрацьований приклад

Розв’яжіть x³ - 6x² + 11x - 6 = 0

Перевіркою або випробуванням ми можемо перевірити малі цілі числа. Тестування x = 1:

1 - 6 + 11 - 6 = 0 ✓

Отже, x = 1 — це корінь. Винесення на множники (x - 1):

(x - 1)(x² - 5x + 6) = 0
(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0

Три корені: x = 1, 2, 3.

Пошук коренів без розкладання на множники

Для кубічних рівнянь, які погано розкладаються на множники, використовуйте:

  1. Формула Кардано (алгебраїчно точна, але складна)
  2. Чисельні методи, такі як Ньютон-Рафсон (ітераційний, знаходить один корінь за раз)
  3. Побудова графіків для оцінки коренів і уточнення за допомогою Ньютона-Рафсона

Програми

Кубічні рівняння представлені в:

  • Інженерія (аналіз напруги-деформації, гідродинаміка)
  • Фізика (рух снаряда в середовищі опору, кубічні матеріали)
  • Економіка (проблеми оптимізації, криві собівартості продукції)
  • Комп'ютерна графіка (кубічні криві Без'є)

Поради

Якщо ви підозрюєте раціональні корені, скористайтеся теоремою раціонального кореня: будь-який раціональний корінь p/q має p, що ділить d, і q, що ділить a. Це значно звужує кількість кандидатів на тестування. Завжди перевіряйте корені шляхом підстановки.

Використовуйте наш Рішувач кубічних рівнянь, щоб миттєво знаходити всі корені, дійсні чи складні.