Очікуване значення (EV) — це середнє зважене за ймовірністю всіх можливих результатів. Він говорить вам, що ви повинні очікувати отримати в середньому, якщо ви повторюєте подію багато разів.
Формула
E(X) = Σ (probability × value)
Підсумуйте всі (ймовірність × результат) пари.
Простий приклад: ставка на підкидання монети
Чесне підкидання монети:
- Голови: виграйте £10
- Хвости: втратити £8
E(X) = (0.5 × 10) + (0.5 × −8)
E(X) = 5 + (−4) = £1
Тлумачення: У середньому ви виграєте 1 фунт стерлінгів за кидок. Це позитивна ставка EV, яку варто робити неодноразово.
Приклад: страхування
Чи варто купувати поліс страхування телефону на 200 фунтів стерлінгів на рік?
Припустимо:
- 5% ймовірність пошкодження телефону (вартість: 400 фунтів стерлінгів на ремонт)
- 95% ймовірність відсутності пошкоджень
Очікувана вартість без страховки:
E(cost) = (0.05 × £400) + (0.95 × £0) = £20
Вартість страхування: £200
Страховка коштує 200 фунтів стерлінгів за очікуваний збиток у 20 фунтів стерлінгів — ви платите в 10 разів більше очікуваної вартості. З математичної точки зору страхування є негативним рішенням щодо EV. Однак зменшення ризику може бути вартим премії, якщо ви не можете дозволити собі втрати в 400 фунтів стерлінгів.
Азартні ігри: The House Edge
Колесо європейської рулетки (37 чисел, 0–36). Ви ставите £1 на одне число:
- Перемога: 1 шанс із 37, виплата = £36 (35:1 + ваша ставка)
- Програш: 36 шансів із 37
E(X) = (1/37 × 36) + (36/37 × −1)
E(X) = 0.973 − 0.973 = −0.027
Очікувана втрата = £0,027 за £1 ставку = 2,7% переваги будинку.
Понад 1000 обертань по 1 фунту стерлінгів кожне:
Expected loss = 1,000 × 0.027 = £27
Прийняття бізнес-рішень
Компанія вирішує, чи запускати продукт:
| Результат | Ймовірність | Прибуток/Збиток |
|---|---|---|
| Сильний успіх | 20% | +500 000 фунтів стерлінгів |
| Помірний успіх | 40% | +100 000 фунтів стерлінгів |
| Беззбитковість | 25% | £0 |
| провал | 15% | −200 000 фунтів стерлінгів |
EV = (0.2 × 500,000) + (0.4 × 100,000) + (0.25 × 0) + (0.15 × −200,000)
EV = 100,000 + 40,000 + 0 − 30,000 = £110,000
Позитивний EV → продовжити проект.
Обмеження очікуваної вартості
- Відхилення має значення: 50% шансів виграти £200 і певні £100 мають однакову EV, але дуже різні профілі ризику
- Окремі події: EV гарантує лише середні результати за багато повторів
- Корисність проти грошей: Люди оцінюють гроші нелінійно (уникнення ризику). Втрата £1000 завдає більше болю, ніж отримання £1000 допомагає.
EV у покері
Професійний покер передбачає розрахунок шансів банку та очікуваного значення для кожного рішення. Якщо ставка має позитивне EV, її слід робити незалежно від короткострокового результату.
EV = (probability of winning × pot size) − (probability of losing × bet size)