GCD і LCM є основоположними концепціями теорії чисел, які використовуються для спрощення дробів, розв’язування рівнянь і задач планування. Тут чітко пояснено кожен метод.
Визначення
GCD (Найбільший спільний дільник) — також називається GCF (Найбільший спільний множник) або HCF (Найбільший спільний множник) — це найбільше натуральне число, яке ділить обидва числа без залишку.
LCM (Найменше спільне кратне) — це найменше натуральне число, яке ділиться на обидва числа.
GCD(a, b) × LCM(a, b) = a × b
Це співвідношення означає, що як тільки ви знайдете одне, ви можете обчислити інше:
LCM(a, b) = (a × b) ÷ GCD(a, b)
Спосіб 1: Розкладання на прості множники
Найкраще для: Розуміння, менші числа, кілька чисел одночасно.
Кроки для GCD:
- Розкладіть кожне число на прості множники
- Знайдіть спільні прості множники
- Помножте найменші степені спільних множників
Кроки для LCM:
- Розкладіть кожне число на прості множники
- Помножте найвищі степені всіх простих множників
Приклад: GCD і LCM 36 і 48
Прості множники:
- 36 = 2² × 3²
- 48 = 2⁴ × 3
НОД: Загальні множники 2 і 3. Візьміть найменші ступені:
- НОД = 2² × 3¹ = 4 × 3 = 12
LCM: Усі фактори. Прийміть найвищі повноваження:
- LCM = 2⁴ × 3² = 16 × 9 = 144
Перевірте: 36 × 48 = 1728 = 12 × 144 ✓
Спосіб 2: Алгоритм Евкліда (НОД)
Найкраще для: Більших чисел — набагато швидше, ніж розкладання на множники.
Ключове розуміння: НОД(a, b) = НОД(b, a mod b), повторюючи, поки залишок не дорівнюватиме 0.
GCD(a, b):
while b ≠ 0:
r = a mod b
a = b
b = r
return a
Приклад: GCD(252, 105)
| Крок | a | b | r = a mod b |
|---|---|---|---|
| 1 | 252 | 105 | 42 |
| 2 | 105 | 42 | 21 |
| 3 | 42 | 21 | 0 |
НОД = 21 (останній ненульовий залишок)
Приклад: GCD(1071, 462)
| Крок | a | b | r |
|---|---|---|---|
| 1 | 1071 | 462 | 147 |
| 2 | 462 | 147 | 21 |
| 3 | 147 | 21 | 0 |
НОД = 21
Спосіб 3: метод поділу/драбини
Найкраще для: Візуальних учнів, які знаходять GCD і LCM одночасно.
Поділіть обидва числа на найменший спільний простий множник кілька разів:
Приклад: GCD і LCM 12 і 18
2 | 12 18
3 | 6 9
| 2 3
НОД = добуток використаних дільників = 2 × 3 = 6 НКО = добуток дільників × решта чисел = 2 × 3 × 2 × 3 = 36
LCM для більш ніж двох чисел
Приклад: LCM(4, 6, 10)
Прості множники:
- 4 = 2²
- 6 = 2 × 3
- 10 = 2 × 5
Візьміть найбільший ступінь кожного простого числа: 2² × 3 × 5 = 60
Перевірте: 60 ÷ 4 = 15 ✓, 60 ÷ 6 = 10 ✓, 60 ÷ 10 = 6 ✓
Програми реального світу
**Спрощення дробів: ** Розділіть чисельник і знаменник на НОД.
- 24/36: НОД(24,36) = 12 → 24/36 = 2/3
Додавання дробів з різними знаменниками: Знайти НОК знаменників.
- 1/4 + 1/6: НКР(4,6) = 12 → 3/12 + 2/12 = 5/12
Проблеми з розкладом: «Два автобуси відправляються одночасно. Один кожні 12 хвилин, інший кожні 18 хвилин. Коли вони знову відправляються разом?»
- LCM(12, 18) = 36 → кожні 36 хвилин
Матеріали для різання: "Довжина однієї дошки становить 36 см, а іншої – 48 см. Який найдовший шматок однакової довжини можна вирізати з обох без відходів?"
- НОД(36, 48) = 12 см
Швидкі психологічні перевірки
НОД завжди ≤ меншого числа LCM завжди ≥ більшого числа Якщо НОД(a,b) = 1, числа взаємно прості — НОК(a,b) = a × b
Приклад: НОД(7, 13) = 1 (обидва прості, спільних дільників немає) → НОК = 7 × 13 = 91