Період напіврозпаду - це час, який потрібен для розпаду або перетворення половини речовини. Він з’являється в ядерній фізиці, фармакології, хімії та археології — там, де щось експоненціально зменшується.
Формула напіврозпаду
N(t) = N₀ × (½)^(t/t½)
Або еквівалентно:
N(t) = N₀ × e^(−λt)
Де:
- N(t) = кількість, що залишилася на час t
- N₀ = початкова кількість
- t½ = період напіввиведення
- λ = константа розпаду = ln(2) ÷ t½ ≈ 0,693 ÷ t½
- e = число Ейлера (2,718...)
Основний розрахунок періоду напіврозпаду
Скільки залишається після n періодів напіврозпаду?
Remaining fraction = (½)^n = 1 ÷ 2^n
| Минув період напіврозпаду | Частка, що залишилася | Відсоток |
|---|---|---|
| 1 | 1/2 | 50% |
| 2 | 1/4 | 25% |
| 3 | 1/8 | 12.5% |
| 4 | 1/16 | 6.25% |
| 5 | 1/32 | 3.125% |
| 7 | 1/128 | 0.78% |
| 10 | 1/1024 | 0.098% |
Приклад: 200 г речовини з 10-денним періодом напіврозпаду, через 30 днів:
- Кількість періодів напіврозпаду = 30 ÷ 10 = 3
- Залишок = 200 × (½)³ = 200 × 0,125 = 25 г
Знайти залишок суми в будь-який час
N(t) = N₀ × (½)^(t/t½)
**Приклад: ** 500 мг речовини, період напіввиведення = 8 годин. Скільки залишилося через 20 годин?
- N(20) = 500 × (½)^(20/8)
- N(20) = 500 × (0,5)^2,5
- N(20) = 500 × 0,1768 = 88,4 мг
Пошук часу, що минув, із суми, що залишилася
t = t½ × log(N(t)/N₀) ÷ log(½)
Або: t = t½ × ln(N₀/N(t)) ÷ ln(2)
Приклад: Почніть з 1000 г, період напіввиведення = 5 років. Коли залишиться 62,5 г?
- 62,5/1000 = 0,0625 = (½)^n → n = 4 періоди напіврозпаду
- t = 4 × 5 = 20 років
Константа розпаду
λ = ln(2) ÷ t½ ≈ 0.693 ÷ t½
Константа розпаду λ — це ймовірність того, що ядро розпадеться за одиницю часу. Він використовується у формулі експоненціального розпаду:
N(t) = N₀ × e^(−λt)
Приклад: Період напіввиведення = 20 хвилин:
- λ = 0,693 ÷ 20 = 0,03466 за хвилину
- Через 60 хвилин: N = N₀ × e^(−0,03466 × 60) = N₀ × e^(−2,079) = N₀ × 0,125
Це підтверджує: 60 хвилин = 3 періоди напіввиведення → залишилося 12,5% ✓
Періоди напіврозпаду радіоактивних ізотопів
| Ізотоп | Half-Life | використання |
|---|---|---|
| Вуглець-14 | 5730 років | Радіовуглецеве датування |
| Уран-238 | 4,47 мільярда років | Датування геологічного віку |
| Йод-131 | 8.02 днів | Лікування раку щитовидної залози |
| Технецій-99м | 6.01 годин | Медична візуалізація |
| Полоній-210 | 138,4 днів | — |
| Стронцій-90 | 28,8 років | Занепокоєння ядерними опадами |
Вуглецеве датування: практичне застосування
Вуглець-14 має період напіврозпаду 5730 років і міститься в усіх живих організмах. Коли організм гине, він перестає поглинати новий C-14, тому співвідношення C-14 до C-12 зменшується передбачувано.
Age = t½ ÷ ln(2) × ln(N₀/N)
Приклад: у зразку залишилося 25% оригінального C-14:
- 25% = (½)^n → n = 2 періоди напіврозпаду
- Вік = 2 × 5730 = 11 460 років
Вуглецеве датування є надійним для зразків віком до ~50 000 років (приблизно 8–9 періодів напіврозпаду, після яких залишається так мало C-14, що вимірювання стає ненадійним).
Період напіввиведення у фармакології
Період напіввиведення препарату визначає частоту дозування. Після 4–5 періодів напіввиведення приблизно 94–97% препарату виводиться:
| Ліки | Half-Life | Частота дозування |
|---|---|---|
| Ібупрофен | 2 години | Кожні 4–6 годин |
| Аспірин | 15–20 хвилин* | Щодня для антиагрегантів |
| Кофеїн | 5–6 годин | Ефект ~8–10 годин |
| діазепам (валіум) | 20–100 годин | Один раз на день або рідше |
- Вплив аспірину на тромбоцити триває набагато довше, ніж його власний період напіврозпаду, завдяки необоротному зв’язуванню.
Використовуйте наш калькулятор експоненти, щоб швидко обчислити (½)^n для будь-якої кількості періодів напіврозпаду.