Теорема Піфагора — одне з найважливіших співвідношень у математиці, яке використовується для знаходження гіпотенузи прямокутного трикутника та вирішення незліченних проблем реального світу. Незалежно від того, будуєте ви, орієнтуєтеся чи розв’язуєте геометричні задачі, важливо знати, як обчислити гіпотенузу.
Теорема Піфагора
Теорема Піфагора стверджує, що в прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи (найдовша сторона, розташована навпроти прямого кута) дорівнює сумі квадратів двох інших сторін.
a² + b² = c²
Where:
a = first side (leg)
b = second side (leg)
c = hypotenuse (longest side)
Знаходження гіпотенузи
Щоб знайти гіпотенузу, знаючи обидва катети:
c = √(a² + b²)
Приклад 1: Прямокутний трикутник із катетами 3 і 4
c = √(3² + 4²)
c = √(9 + 16)
c = √25
c = 5
Приклад 2: Прямокутний трикутник з катетами 5 і 12
c = √(5² + 12²)
c = √(25 + 144)
c = √169
c = 13
Приклад 3: Прямокутний трикутник з катетами 6 і 8
c = √(6² + 8²)
c = √(36 + 64)
c = √100
c = 10
Звичайні трійки Піфагора
Піфагорові трійки — це набори з трьох цілих чисел, які задовольняють теорему. Запам'ятовування цих прискорює обчислення:
| Сторона А | Сторона Б | Гіпотенуза | множинний |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 3-4-5 |
| 5 | 12 | 13 | 5-12-13 |
| 8 | 15 | 17 | 8-15-17 |
| 6 | 8 | 10 | Подвійний 3-4-5 |
| 9 | 12 | 15 | Потрійний 3-4-5 |
| 7 | 24 | 25 | 7-24-25 |
| 20 | 21 | 29 | 20-21-29 |
| 9 | 40 | 41 | 9-40-41 |
Пошук зниклих ніг
Якщо ви знаєте гіпотенузу й один катет, знайдіть інший:
a = √(c² - b²)
Приклад: Гіпотенуза дорівнює 13, один катет дорівнює 5
a = √(13² - 5²)
a = √(169 - 25)
a = √144
a = 12
Практичні робочі приклади
Приклад 1: Проблема зі сходами
A ladder leans against a wall 8 feet high.
The base is 6 feet from the wall.
What is the ladder length (hypotenuse)?
c = √(8² + 6²)
c = √(64 + 36)
c = √100
c = 10 feet
Приклад 2: діагональ прямокутника
A rectangular field is 50 meters long and 30 meters wide.
What is the diagonal distance?
c = √(50² + 30²)
c = √(2500 + 900)
c = √3400
c ≈ 58.3 meters
Приклад 3: будівельна площа
A building has a foundation 60 feet long and 40 feet wide.
To check if corners are square (90°), measure the diagonal.
Should be: c = √(60² + 40²) = √(3600 + 1600) = √5200 ≈ 72.1 feet
Програми реального світу
Теорема Піфагора застосовується до:
- Конструкція: перевірка прямих кутів, визначення довжини крокв даху
- Навігація: обчислення прямих відстаней між точками
- Спорт: визначення відстані між полями або трасами
- Інженерія: Розрахунок напруги та проектування конструкції
- Зйомка: вимірювання землі та картографування
- Технологія: вимірювання діагоналі екрана (співвідношення сторін 16:9)
Формула відстані в координатній геометрії
Теорема Піфагора поширюється на знаходження відстані між точками:
Distance = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]
Приклад: Відстань між точками (1, 2) і (4, 6)
Distance = √[(4-1)² + (6-2)²]
Distance = √[3² + 4²]
Distance = √[9 + 16]
Distance = √25
Distance = 5 units
Правило трикутника 3-4-5
Прямокутний трикутник 3-4-5 є найкориснішою трійкою Піфагора. Підрядники часто використовують це правило, щоб переконатися, що кути квадратні: відміряйте 3 фути вздовж однієї стіни, 4 фути вздовж перпендикулярної стіни, а діагональ повинна бути точно 5 футів.
Поза прямокутними трикутниками
Для непрямокутних трикутників замість цього використовуйте закон косинусів:
c² = a² + b² - 2ab·cos(C)
Де C — кут між сторонами a і b.
Використовуйте наш Калькулятор теореми Піфагора, щоб миттєво знайти довжину гіпотенузи та перевірити прямі кути.