Z-показник (або стандартний показник) вимірює, скільки стандартних відхилень має точка даних від середнього. Він перетворює необроблені оцінки в стандартизовану шкалу, що дозволяє порівнювати різні набори даних.
Формула Z-показника
z = (x − μ) ÷ σ
Де:
- x = індивідуальна точка даних
- μ (mu) = середнє значення популяції
- σ (сигма) = стандартне відхилення сукупності
Для вибірки замініть μ на x̄ (середнє значення вибірки) і σ на s (SD вибірки).
Спрацьований приклад
Студент набрав 72 бали на іспиті. Середнє значення класу дорівнює 65, а стандартне відхилення дорівнює 8.
z = (72 − 65) ÷ 8 = 7 ÷ 8 = 0.875
Цей студент набрав 0,875 стандартних відхилень вище середнього.
Інтерпретація Z-показників
| Z-оцінка | Інтерпретація | Процентиль (приблизно) |
|---|---|---|
| −3 | Надзвичайно нижче середнього | 0.1% |
| −2 | Значно нижче середнього | 2.3% |
| −1 | Нижче середнього | 15.9% |
| 0 | У середньому | 50.0% |
| +1 | Вище середнього | 84.1% |
| +2 | Значно вище середнього | 97.7% |
| +3 | Надзвичайно вище середнього | 99.9% |
Правило 68-95-99.7
У нормальному розподілі:
- 68% даних знаходяться в межах ±1 стандартного відхилення
- 95% в межах ±2 стандартних відхилень
- 99,7% в межах ±3 стандартних відхилень
Перетворення Z-показника в процентиль
Отримавши z-показник, знайдіть стандартну нормальну таблицю (Z-таблицю) або скористайтеся:
Percentile = Φ(z) × 100
Де Φ – кумулятивна функція нормального розподілу.
Приклад: z = 1,5 → Φ(1,5) = 0,9332 → 93,3 процентиль
Застосування Z-Scores
Фінанси:
- Altman Z-Score передбачає ризик банкрутства
- Використовується в управлінні ризиками для виявлення викидів
Охорона здоров'я:
- ІМТ для вікових z-показників для дітей
- Т-показники щільності кісткової тканини (DXA) є формою z-показника
Контроль якості:
- Six Sigma використовує z-показники для вимірювання можливостей процесу
- Процес "6-sigma" має z-показник 6 (3,4 дефекти на мільйон)
Стандартизація тестових балів:
- Оцінки IQ: середнє 100, SD 15 (z-оцінка +2 → IQ 130)
- Оцінки SAT: середнє значення 1000, стандартне відхилення 200 (відраховується за z-оцінками)
Порівняння результатів у різних тестах
Приклад: Аліса набрала 80 балів у тесті A (середнє значення 70, SD 10). Боб отримав 55 балів у тесті B (середнє значення 40, SD 8).
Alice's z = (80 − 70) ÷ 10 = 1.0
Bob's z = (55 − 40) ÷ 8 = 1.875
Незважаючи на нижчий необроблений бал, Боб показав кращі результати порівняно зі своїми однолітками.