Квадратне рівняння має вигляд ax² + bx + c = 0. Є чотири способи їх розв’язування — знання того, який і коли використовувати, значно пришвидшує алгебру.
Стандартна форма
Кожне квадратне рівняння можна записати так:
ax² + bx + c = 0
Де a ≠ 0 (якщо a = 0, це лінійне рівняння).
Приклади:
- x² − 5x + 6 = 0 (a=1, b=−5, c=6)
- 2x² + 3x − 2 = 0 (a=2, b=3, c=−2)
- x² − 9 = 0 (a=1, b=0, c=−9)
Спосіб 1: Факторинг
Найкраще працює, коли рівняння розкладається на цілі числа. Найшвидший метод, якщо це можливо.
Кроки:
- Запишіть у стандартній формі
- Знайдіть два числа, які множаться на (a × c) і додають до b
- Розділіть середній член і розкладіть на множники шляхом групування
- Прирівнюйте кожен множник до нуля
Приклад: x² − 5x + 6 = 0
- Потрібні два числа: помножте на 6, додайте до −5 → −2 і −3
- Розкладіть на множники (x − 2)(x − 3) = 0
- Рішення: x = 2 або x = 3
Приклад: 2x² + 5x + 3 = 0
- a × c = 6, потрібно додати множники до 5 → 2 і 3
- Перепишіть: 2x² + 2x + 3x + 3 = 0
- Розкладіть на множник: 2x(x + 1) + 3(x + 1) = 0
- Розкладіть на множники (2x + 3)(x + 1) = 0
- Рішення: x = −3/2 або x = −1
Коли використовувати: Коли ви можете швидко визначити фактори. Якщо ви не знайдете фактори протягом 30 секунд, змініть метод.
Метод 2: Квадратична формула
Працює для кожного квадратного рівняння. Використовуйте це, коли факторування неочевидне.
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)
Приклад: 2x² + 3x − 2 = 0 (a=2, b=3, c=−2)
- Дискримінант: b² − 4ac = 9 − (4 × 2 × −2) = 9 + 16 = 25
- √25 = 5
- x = (−3 ± 5) ÷ 4
- x = (−3 + 5) ÷ 4 = 0,5 або x = (−3 − 5) ÷ 4 = −2
Дискримінант: скільки розв’язків?
Вираз b² − 4ac повідомляє вам про природу розв’язків до того, як ви розв’яжете:
| Дискримінант | Кількість розчинів | Тип |
|---|---|---|
| b² − 4ac > 0 | Два різних реальних рішення | Реальні числа |
| b² − 4ac = 0 | Одне повторне рішення | Справжні, рівнокореневі |
| b² − 4ac < 0 | Немає реальних рішень | Два складних/уявних кореня |
Приклад: x² + 2x + 5 = 0
- Дискримінант = 4 − 20 = −16 → немає дійсних розв'язків
- Комплексні розв’язки: x = (−2 ± √(−16)) ÷ 2 = −1 ± 2i
Спосіб 3: Завершення квадрата
Перетворює рівняння у форму (x + p)² = q. Необхідний для розуміння форми вершини та виведення квадратичної формули.
Кроки:
- Переміщення в праву сторону
- Поділіть на a (якщо a ≠ 1)
- Додайте (b/2a)² до обох сторін
- Розкладіть ліву сторону як повний квадрат
- Витягніть квадратний корінь з обох сторін
Приклад: x² + 6x + 5 = 0
- x² + 6x = −5
- Додайте (6/2)² = 9 до обох сторін: x² + 6x + 9 = 4
- (x + 3)² = 4
- x + 3 = ±2
- x = −1 або x = −5
Метод 4: Побудова графіків
Розв’язками (корінням) є точки перетину x параболи y = ax² + bx + c.
- Два х-перехоплення → два дійсних рішення
- Один перетин x (вершина на осі x) → один повторний розв'язок
- Жодних х-перехоплень → немає дійсних розв’язків (комплексні корені)
Коли використовувати: Для візуального розуміння або під час використання графічного калькулятора. Не практично для точних відповідей.
Вибір правильного методу
| Ситуація | Найкращий метод |
|---|---|
| Цілі коефіцієнти, виглядає факторним | Перший факторинг |
| Будь-яке квадратичне число потребує точної відповіді | Квадратична формула |
| Розуміння вершини/мінімум/максимум | Завершення пл |
| Візуальне розуміння або наближення | Побудова графіків |
| b² − 4ac < 0 | Квадратична формула (дає комплексні корені) |
Короткий довідник: загальні шаблони
Різниця квадратів: x² − k² = (x + k)(x − k) = 0 → x = ±k
Тричлен ідеального квадрата: x² + 2kx + k² = (x + k)² = 0 → x = −k (повторюється)
Без середнього члена: ax² + c = 0 → x = ±√(−c/a) (дійсно, лише якщо c і a мають протилежні знаки)
Сума і добуток коренів
Для ax² + bx + c = 0 з коренями r₁ і r₂:
r₁ + r₂ = −b/a
r₁ × r₂ = c/a
Приклад перевірки: x² − 5x + 6 = 0, корені 2 і 3:
- Сума: 2 + 3 = 5 = −(−5)/1 ✓
- Добуток: 2 × 3 = 6 = 6/1 ✓
Скористайтеся нашим розв’язувачем кубічних рівнянь для рівнянь третього ступеня або застосуйте наведену вище формулу квадратичного рівняння для будь-якого стандартного квадратичного рівняння.