Нормальний розподіл (або розподіл Гауса) є найважливішим розподілом ймовірностей у статистиці. Він описує, скільки природних явищ розподілено — результати тестів, висоти, помилки вимірювання, прибутковість акцій — і є основою більшості статистичних висновків і перевірки гіпотез.
Формула
Функція щільності ймовірності для нормального розподілу:
f(x) = (1 / (σ√(2π))) × e^(-(x-μ)²/(2σ²))
Де:
- μ (mu) = середнє значення (центр розподілу)
- σ (сигма) = стандартне відхилення (розкид розподілу)
- x = значення, яке ви оцінюєте
- e ≈ 2,71828
- π ≈ 3,14159
Форма дзвоноподібна, і близько 68% значень знаходяться в межах 1 стандартного відхилення від середнього, 95% в межах 2 стандартних відхилень і 99,7% в межах 3 стандартних відхилень (правило 68-95-99,7).
Спрацьований приклад
Стандартизований тест має середнє значення 100 і стандартне відхилення 15. Яка ймовірність того, що випадковий результат буде меншим за 115?
Спочатку перетворіть на z-оцінку:
z = (115 - 100) / 15 = 1.0
Z-оцінка 1,0 означає, що 115 є одним стандартним відхиленням вище середнього. Використовуючи стандартну нормальну таблицю або калькулятор, P(z ≤ 1,0) ≈ 0,8413 або 84,13%.
Таким чином, приблизно 84% учасників тестування набрали менше 115.
Ключові властивості
Нормальний розподіл повністю визначається його середнім значенням і стандартним відхиленням. Зміщення середнього переміщує криву вліво або вправо; збільшення стандартного відхилення вирівнює і розширює його. Загальна площа під кривою завжди дорівнює 1.
Будь-який нормальний розподіл можна перетворити на стандартний нормальний розподіл (середнє 0, стандартне відхилення 1) за допомогою наведеної вище формули z-показника. Така стандартизація дозволяє використовувати одну універсальну нормальну таблицю.
Коли використовувати
Використовуйте нормальний розподіл, коли:
- Кластери даних навколо центрального значення
- Значення мають гістограму у формі дзвона
- Застосовується центральна гранична теорема (вибірка означає будь-який розподіл, наближений до нормального)
- Ви проводите перевірку гіпотез або довірчих інтервалів
Більшість реальних безперервних даних приблизно дотримуються нормального розподілу, що робить їх робочою конячкою прикладної статистики.
Поради
Перевірте нормальність за допомогою гістограми або графіка Q-Q, перш ніж вважати, що дані нормальні. Якщо дані сильно спотворені або мають викиди, нормальний розподіл може бути невідповідним. Для ненормальних даних використовуйте непараметричні тести або перетворення даних.
Використовуйте наш Калькулятор нормального розподілу, щоб миттєво знайти ймовірності, процентилі та z-показники.