Z-показник вимірює, скільки стандартних відхилень має значення від середнього. Це основа статистичного висновку, що дозволяє вам перетворювати будь-який нормальний розподіл у стандартизовану шкалу, де ви можете знайти ймовірності за допомогою універсальної нормальної таблиці або калькулятора.
Формула
z = (x - μ) / σ
Де:
- x = значення, яке ви оцінюєте
- μ (mu) = середнє значення популяції
- σ (сигма) = стандартне відхилення сукупності
Z-оцінка 0 означає, що значення дорівнює середньому. Позитивні z-показники вище середнього; негативні z-показники наведені нижче. Величина вказує на відстань у стандартних відхиленнях.
Спрацьований приклад
Вступний іспит до коледжу має середнє значення 500 і стандартне відхилення 100. Ви набрали 650. Який ваш Z-бал?
z = (650 - 500) / 100 = 150 / 100 = 1.5
Ваш результат на 1,5 стандартних відхилень перевищує середнє значення. Використовуючи стандартну нормальну таблицю, P(z ≤ 1,5) ≈ 0,9332, тобто приблизно 93,32% учасників тестування набрали нижче вас.
Використання таблиць Z-показників
Після обчислення z ви шукаєте його ймовірність у стандартній нормальній таблиці, яка дає кумулятивні ймовірності P(Z ≤ z). Таблиці показують:
- Односторонні ймовірності: P(Z ≤ z) або P(Z ≥ z)
- Двосторонні ймовірності: корисні для довірчих інтервалів і перевірки гіпотез
Наприклад, z = 1,96 відповідає P(Z ≤ 1,96) ≈ 0,975. Площа в обох хвостах за межами z = ±1,96 становить 0,05, тому 1,96 є критичним значенням для 95% довірчих інтервалів.
Загальні обмеження Z-показника
| Z-оцінка | Кумулятивна ймовірність | Процентиль |
|---|---|---|
| -3 | 0.0013 | 0,13-й |
| -2 | 0.0228 | 2.28-й |
| -1 | 0.1587 | 15,87-й |
| 0 | 0.5000 | 50-й |
| 1 | 0.8413 | 84,13-й |
| 2 | 0.9772 | 97,72-й |
| 3 | 0.9987 | 99,87-й |
Коли використовувати
Z-оцінки важливі для:
- Порівняння значень із різних розподілів
- Знаходження ймовірностей за допомогою нормального розподілу
- Виявлення викидів (зазвичай |z| > 3)
- Перевірка гіпотез і довірчі інтервали
- Стандартизація тестових балів
Поради
Z-оцінки працюють лише для нормально розподілених даних. Якщо ваш розподіл сильно спотворений або має великі хвости, z-показники введуть в оману. Крім того, пам’ятайте про різницю між z (параметр сукупності) і t (статистика вибірки) — використовуйте z, коли σ відоме, і t, коли ви оцінюєте його за вибіркою.
Використовуйте наш Z-Score Calculator, щоб конвертувати оцінки в z-показники та миттєво знаходити ймовірності.